Question

71 As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PG. De-
é
termine a razão q dessa PG.
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Answer 1

Resposta: Encontra-se no final desta resolução.

Explicação passo-a-passo:

Se os três lados de um triângulo retângulo estão em PG crescente, podemos representá-los por x > 0, xq > 0 e xq² > 0. Consequentemente, a PG será (x, xq , xq²), onde x é o primeiro termo e q a razão. Por tratar-se de uma PG crescente com termos positivos, temos que 0 < x < xq < xq² e q > 1, ou seja, xq² é o maior lado do triângulo, sendo, portanto, a hipotenusa. Lembre-se que se 0 < c ≤ b < a são as medidas dos três lados de um triângulo retângulo qualquer, então, pelo Teorema de Pitágoras, é sempre verdade que a² = b² + c². Aplicando Pitágoras aos valores x < xq < xq², e recordando que x > 0 e q > 1, encontraremos:

$\tt (xq^2)^2=(xq)^2+x^2\\\\\\ \tt x^2q^4=x^2q^2+x^2\\\\\\ \tt \dfrac{x^2q^4}{x^2}=\dfrac{x^2q^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{x^2}\\\\\\ \tt q^4=q^2+1\\\\\\ \tt q^4-q^2-1=0\qquad (\:1\:)$

Agora, vamos resolver a equação biquadrada ( 1 ) e achar o valor de q:

$\tt (q^2)^2-2\cdot q^2\cdot \dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\!\!2}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\!\!2}-1=0\\\\\\ \tt \left(q^2-\dfrac{1}{2}\right)^{\!\!2}=\dfrac{1}{4}+1\\\\\\ \tt \left(q^2-\dfrac{1}{2}\right)^{\!\!2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{4}\\\\\\ \tt \left(q^2-\dfrac{1}{2}\right)^{\!\!2}=\dfrac{5}{4}\\\\\\ \tt q^2-\dfrac{1}{2}=\sqrt{\dfrac{5}{4}}\\\\\\ \tt q^2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\\\\\\ q^2=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\\\\\\ \boxed{\tt q =\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}}}$