70- Determine o número de anagramas formados a partir de:
MATEMÁTICA
(Desconsidere o acento gráfico)
73- Permutando-se as duas letras igual a A e n letras iguais a B podem ser obtidos 21 anagramas. Qual o valor de n?
(Resposta final é 5)
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QUESTÃO - 70) Anagramas da palavra Matemática
=> Temos 10 letras ...com repetições:
..2(M) ...2(T) ...3(A)
assim p número (N) de anagramas será dado por:
N = 10!/2!2!3!
N = 10.9.8.7.6.5.4.3!/2!2!3!
N = 10.9.8.7.6.5.4/2!2!
N = 10.9.8.7.6.5.4/4
N = 10.9.8.7.6.5
N = 151200 <-- número de anagramas
QUESTÃO - 73) Qual o valor de n?
=> Sabemos que existem 2 elementos de "A" e n elementos de "B" no conjunto dado ...ou por outras palavras o conjunto de letras a permutar será igual a (n + 2)
...mas note que temos repetições de letras nesse conjunto ..temos 2(A) e ..n(B)
assim a permutação será dada por:
P = (n+2)!/2!n!
Também sabemos que o resultado dessa permutação é 21 ...donde resulta
21 = (n+2)!/2!n!
Resolvendo:
21 = ((n+2).(n+1).n!)/2!n!
2 . 21 = ((n+2).(n+1).n!)/n!
42 = (n+2).(n+1)
42 = n² + n + 2n + 2
42 = n² + 3n + 2
0 = n² + 3n + 2 - 42
0 = n² + 3n - 40
...pela fórmula resolvente encontramos 2 raízes para esta equação do 2º grau, são elas:
X₁ = 5
X₂ = -8
...note que o "n" não pode ser negativo pois não há fatorial de números negativos
assim o "n" só pode ser igual a 5, donde
a resposta correta: n = 5
Espero ter ajudado
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