Question

7- Uma peça maciça de ferro no formato de um prisma hexagonal regular é fabricada e, logo em seguida, é feito um furo
também com a forma de um prisma hexagonal regular reto, com as medidas indicadas na figura acima. Calcule o volume
dessa peça ao final de todas as etapas de sua fabricação.
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Answer 1

Resposta:

$12600\sqrt{3}$

Explicação passo a passo:

Nessas questões com hexágono regular, temos que nos ligar que o hexágono pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros, pois a divisão dos 6 por 360 dá 60º, e os lados são iguais (veja a figura).

Então podemos calcular a área do hexágono calculando a área de um triangulo pequeno desses e multiplicando por 6, depois multiplicamos pela altura e achamos o volume.

Fazemos isso pro hexágono grande e subtraímos do volume do pequeno, aí fica só o volume da peça final.

Então, partindo da fórmula da área do triângulo equilátero:

$A_{tri} = \frac{l^2.\sqrt{3}}{4} \\\\A_{tri} = \frac{(20)^2.\sqrt{3}}{4} \\\\A_{tri} = 100\sqrt{3}\\\\A_{hex} = 6 \ . \ 100\sqrt{3}\\\\A_{hex} = 600\sqrt{3}\\\\V_{hexgrande} = 600\sqrt{3} .25 \\\\V_{hexgrande} = 15000\sqrt{3} \ cm^3$

Agora é só fazer a mesma coisa pro pequeno.

$A_{tri} = \frac{l^2.\sqrt{3}}{4} \\\\A_{tri} = \frac{8^2.\sqrt{3}}{4} \\\\A_{tri} = 16\sqrt{3}\\\\A_{hex} = 16\sqrt{3} \ . \ 6\\\\A_{hex} = 96\sqrt{3} \\\\V_{hexpequeno} = 96\sqrt{3} \ . \ 25\\\\V_{hexpequeno} = 2400\sqrt{3}$

Agora é só subtrair o volume grande pelo pequeno

$V_{final} = 15000\sqrt{3} - 2400\sqrt{3} = 12600\sqrt{3}$