Question

7- Uma mercadoria está a venda em 18 prestações mensais de $ 39,75 com a primeira de entrada. Se a taxa de juros foi de 7% am, qual seria o valor de cada prestação, se resolvesse fazer em 3 prestações semestrais, também a primeira com entrada?

Answer 1

Boa noite!

Vamos primeiramente calcular o valor presente (à vista).
Dados:
Prestações: 18 mensalidades (1+17x)
Valor da prestação: 39,75
Taxa de juros: 7% a.m.

Queremos:
Prestações: 3 semestralidades (1+2x)
Valor da semestralidade: ?
Taxa de juros: ?% a.s.

Primeiramente, calculemos o valor presente:
$\displaystyle{PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-(n-1)}}{i}+1\right]}\\\displaystyle{PV=39,75\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+7\%\right)^{-(18-1)}}{7\%}+1\right]}\\\displaystyle{PV=39,75\cdot\left(\dfrac{1-1,07^{-17}}{0,07}+1\right)}\\\boxed{\displaystyle{PV\approx 427,84}}$

Agora que temos o valor à vista, vamos financiá-lo conforme pedido. Mas antes precisamos da taxa semestral:
$(1+i_s)^1=(1+i_m)^6\\1+i_s=(1+7\%)^6\\1+i_s=1,07^6\\i_s=1,07^6-1\\i_s\approx 50,073\%\text{ a.s.}$

Utilizando-se da taxa:
$\displaystyle{PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-(n-1)}}{i}+1\right]}\\\displaystyle{427,84=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+50,073\%\right)^{-(3-1)}}{50,073\%}+1\right]}\\\displaystyle{427,84=PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,50073^{-2}}{0,50073}+1\right)}\\\displaystyle{PMT=\dfrac{427,84}{\dfrac{1-1,50073^{-2}}{0,50073}+1}}\\\boxed{\displaystyle{PMT\approx 202,73}}$

Espero ter ajudado!