Question

7)Um objeto cúbico, tem um de seus lados com dimensão de 10m, sabendo que o coeficiente de dilatação linear desse objeto é de 0,0025 °C^-1, encontre suas novas dimensões se o corpo for de 150°C até 75°C.​

Answer 1

O volume final do objeto cúbico em questão é de 437,5 m³ e os lados do mesmo após a dilatação ocorrer serão de (³√437,5) m.

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Cálculo

A dilatação volumétrica (variação de volume) é equivalente ao produto da volume inicial pelo coeficiente de dilatação volumétrica pela variação de temperatura, tal como a equação abaixo:

$\quad \LARGE {\boxed{\boxed{\begin{array}{lcr} \\\ {\sf \Delta V = V_0 \cdot \huge \gamma\cdot \LARGE \sf \Delta T } ~\\\ \end{array}}}$

$\large \textsf{Onde:}$

$\large \sf \Delta V \Rightarrow variac{\!\!,}\tilde{a}o ~ de ~ volume ~(em ~ m^3 ~ ou ~ cm^3)$

$\large \sf V_0 \Rightarrow volume ~ inicial ~ (em ~ m^3 ~ ou ~ cm^3)$

$\sf \Large \gamma ~ \large \sf \Rightarrow coeficiente ~de ~ dilatac{\!\!,}\tilde{a}o ~ volum\acute{e}trico ~ (em ~ ^\circ C^\textsf{-1})$

$\large \sf \Delta T \Rightarrow variac{\!\!,}\tilde{a}o ~ de ~ temperatura ~ (em ~^\circ C)$

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Aplicação

Calculando a dilatação volumétrica sofrida pelo objeto

Sabe-se, conforme o enunciado:

$\LARGE \sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta V = \textsf{? m}^3 \\\sf V_0 = \left(10~m\right)^3 = 1000 ~m^3\\\sf \huge \gamma \Large = 3 \cdot \Huge \alpha \LARGE = 3 \cdot \textsf{2,5} \cdot 10^\textsf{-3} ~ ^\circ C^\textsf{-1} = \textsf{7,5} \cdot 10^\textsf{-3} ~ ^\circ C^\textsf{-1}\\\sf \Delta T = T_{final} - T_{inicial} = 75 ~ ^\circ C- 150~^\circ C = -\textsf{75 } ^\circ C \\ \end{cases}$

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Assim, tem-se que:

$\Large \sf \Delta V = 1000 \left[m^3\right] \cdot \textsf{7,5} \cdot 10^\textsf{-3} \left[^\circ C^\textsf{-1}\right] \cdot \left(\textsf{-75} \left[^\circ C\right]\right)$

$\Large \sf \Delta V = -562~500 \cdot 10^\textsf{-3} \left[m^3\right] \left[\dfrac{1}{~\! \diagup\!\!\!\!\!\!\! ^\circ C}\right] \left[~\diagup\!\!\!\!\!\!\! ^\circ C\right]$

$\Large \sf \Delta V = -562~500 \cdot 10^\textsf{-3} \left[m^3\right]$

$\boxed {\boxed {\Large \sf \Delta V = -\textsf{562,5} \left[m^3\right] }}$

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Calculando o volume final

Sabe-se, conforme o enunciado:

$\LARGE \sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta V = -\textsf{562,5 m}^3 \\\sf V_F = \textsf{? m}^3 \\\sf V_0 =1000 ~m^3\\ \end{cases}$

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Assim, tem-se que:
$\Large \sf -\textsf{562,5} \left[m^3\right] = V_F-1000 \left[m^3\right]$

$\Large \sf V_F =1000 \left[m^3\right]-\textsf{562,5} \left[m^3\right]$

$\boxed {\boxed {\Large \sf V_F = \textsf{437,5} \left[m^3\right] }}$

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