Question

7) Resolva a integral e diga o método que está usando:

$\int\limits {(u+4)(2u+1)} \, du$

Answer 1

Essa é bem simples.

Vamos desenvolver esse produto da integral para facilitar nossos cálculos, vejamos:

$\mathsf{\displaystyle\int~(u+4)~(2u+1)~du}}=\mathsf{\displaystyle\int~2u^{2}+9u+4~du}}}\\\\\\\\ \mathsf{\dfrac{2u^{2+1}}{2+1}+\dfrac{9u^{1+1}}{1+1}+4u+C}}}}}}}\\\\\\\\\ \Large{\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\mathbf{~\therefore~\displaystyle\int~(u+4)~(2u+1)~du}=\mathbf{\dfrac{2u^{3}}{3}+\dfrac{9u^{2}}{2}+4u+C}}}}}}}}}}}}}}}~~\checkmark}}}$
°Espero que te ajude. '-'

Answer 2

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Calcular a integral indefinida:

     $\mathsf{\displaystyle\int\!(u+4)(2u+1)\,du}$


Esta você também pode resolver usando o método de integração por partes:

     $\begin{array}{lcl} \mathsf{f=u+4}&\quad\Rightarrow \quad&\mathsf{df=du}\\\\ \mathsf{dg=(2u+1)\,du}&\quad\Leftarrow \quad&\mathsf{g=u^2+u} \end{array}$

     $\mathsf{\displaystyle\int\!f\,dg=fg-\int\!g\,df}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\int\!(u+4)(2u+1)\,du=(u^2+u)(u+4)-\int\!(u^2+u)\,du}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\int\!(u+4)(2u+1)\,du=u(u+1)(u+4)-\int\!(u^2+u)\,du}$


Fica a seu critério. Você pode integrar diretamente o polinômio que apareceu (usando a regra da potência), ou fatorar e integrar por partes novamente:  A integração por partes aqui pode ser útil, se você deseja obter uma resposta fatorada, ou mais fácil de fatorar:

     $\mathsf{\displaystyle\int\!(u+4)(2u+1)\,du=u(u+1)(u+4)-\int\!u(u+1)\,du}$


Como o procedimento é análogo ao que foi feito para a integral inicial, vou dar preferência á integração direta:

     $\mathsf{\displaystyle\int\!(u+4)(2u+1)\,du=u(u+1)(u+4)-\int\!(u^2+u)\,du}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\int\!(u+4)(2u+1)\,du=u(u+1)(u+4)-\left(\dfrac{u^{2+1}}{2+1}+\dfrac{u^{1+1}}{1+1}\right)+C}\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\int\!(u+4)(2u+1)\,du=u(u+1)(u+4)-\left(\dfrac{u^3}{3}+\dfrac{u^2}{2}\right)+C}$

     $\mathsf{\displaystyle\int\!(u+4)(2u+1)\,du=u(u+1)(u+4)-\dfrac{u^3}{3}-\dfrac{u^2}{2}+C}$   <————   esta é uma resposta possível.


Bons estudos! :-)