Question

7) Qual é o segundo termo no desenvolvimento
do binômio
(x+3)^4

Me ajudem por favoooor!​

Answer 1

Vamos resolver essa questão através de uma técnica diferenciada, essa tal técnica é o Triângulo de Pascal.

Para resolver uma questão de desenvolvimento de binômios através do triângulo, devemos escrever os números desse tal Triângulo de acordo com o expoente do binômio fornecido pela questão. Como o expoente é "4", vamos escrever até a quarta linha desse Triângulo:

$\sf 0 \rightarrow 1 \\ 1 \rightarrow \sf 1 \: \: \: 1 \\ \sf 2 \rightarrow 1 \: \: \: 2 \: \: \: 1 \\ \sf 3 \rightarrow 1 \: \: \: 3 \: \: \: 3 \: \: \: 1 \\ \boxed{\sf 4 \rightarrow 1 \: \: \: 4 \: \: \: 6 \: \: \: \: 4 \: \: \: \: 1}$

Tendo desenhado o triângulo, copie os números que se encontram a frente da linha "4" na frente do binômio:

$\sf (x + 3) {}^{4} = 1 \: \: \: 4 \: \: \: \: 6 \: \: \: 4 \: \: \: 1$

Agora que vem a parte interessante, onde você deve colocar o primeiro número do binômio elevado ao expoente do mesmo e depois ir decrescendo esse expoente, até chegar em "0".

$\sf x {}^{n} + x {}^{n - 1} + x {}^{n - 2} .... + x {}^{0}$

Sabendo disso, vamos colocar em prática:

$\sf (x + 3) {}^{4} = 1.(x) {}^{4} . \: \: \: + 4.(x) {}^{3} . \: \: +6.(x {}^{2} ) .\: \: + 4.(x) {}^{1} \: \: + 1.x {}^{0}$

Agora você deve fazer a mesma coisa para o segundo número do binômio, só que ao invés de decrescer, esse expoente começará em "0" e terminará quando atingir o expoente do binômio.

$\sf x {}^{0} + x {}^{x + 1} + x {}^{x + 2} ..... + x {}^{n}$

Colocando em prática:

$\sf (x + 3) {}^{4} = 1.(x) {}^{4} .3 {}^{0} + 4.(x) {}^{3} .(3) {}^{1} + 6.(x) {}^{2} .3 {}^{2} + 4.(x) {}^{1} .3 {}^{3} + 1.(x) {}^{0} .(3) {}^{4} \\ \\ \sf (x + 3) {}^{4} = 1.x {}^{4} .1 + 4x {}^{3} .3 + 6x {}^{2} .9 + 4x.27 + 1.1.81 \\ \\ \boxed{\sf (x + 3) {}^{4} = x {}^{4} + 12x {}^{3} + 54x {}^{2} + 108x + 81}$

Espero ter ajudado