Question

7) Qual a posição da reta 2x – y + 1 = 0 em relação à circunferência x²+y²-10x+2y-4=0 ?
8) Determine a distância do centro da circunferência x²+y²-6x-4y+9=0 até a corda formada nesta circunferência pela reta x + y – 7 = 0.
9) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P ( 1,1) e tangencia a circunferência x²+y²+2x-4y=0 ?

Answer 1

7) Colocando a equação da circunferência na forma reduzida:

$x^{2}+y^{2}-10x+2y-4=0\\ \\ x^{2}-10x+y^{2}+2y=4\\ \\ x^{2}-10x+25+y^{2}+2y+1=4+25+1\\ \\ (x-5)^{2}+(y+1)^{2}=(\sqrt{30})^{2}$

O centro é o ponto $(5;\,-1)$ e o raio mede $\sqrt{30}\text{ u.c.}$


Calculando a distância do centro da circunferência à reta de equação geral $2x-y+1=0:$

$d=\dfrac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\ \\ \\ d=\dfrac{|2x_{0}-y_{0}+1|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}\\ \\ \\ d=\dfrac{|2x_{0}-y_{0}+1|}{\sqrt{4+1}}\\ \\ \\ d=\dfrac{|2x_{0}-y_{0}+1|}{\sqrt{5}}\\ \\ \\ d=\dfrac{|2\cdot 5-(-1)+1|}{\sqrt{5}}\\ \\ d=\dfrac{|10+1+1|}{\sqrt{5}}\\ \\ \\ d=\dfrac{|12|}{\sqrt{5}}\\ \\ \\ d=\dfrac{12}{\sqrt{5}}\text{ u.c.}$


Comparando a distância encontrada com o raio da circunferência,

$\dfrac{\sqrt{144}}{\sqrt{5}}<\dfrac{\sqrt{150}}{\sqrt{5}}\;\;\Rightarrow\;\;\dfrac{12}{\sqrt{5}}<\sqrt{30}\;\;\Rightarrow\;\;d<r$

Logo, a reta é secante à circunferência.


8) Colocando a equação da circunferência na forma reduzida:

$x^{2}+y^{2}-6x-4y+9=0\\ \\ x^{2}-6x+y^{2}-4y=-9\\ \\ x^{2}-6x+9+y^{2}-4y+4=-\diagup\!\!\!\! 9+\diagup\!\!\!\! 9+4\\ \\ (x-3)^{2}+(y-2)^{2}=2^{2}$


O centro é o ponto $(3;\,2)$ e o raio mede $2\text{ u.c.}$


A distância procurada é a distância da reta $x+y-7=0$ ao centro $(3;\,2):$

$d=\dfrac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\\ \\ \\ d=\dfrac{|x_{0}+y_{0}-7|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}\\ \\ \\ d=\dfrac{|x_{0}+y_{0}-7|}{\sqrt{1+1}}\\ \\ \\ d=\dfrac{|x_{0}+y_{0}-7|}{\sqrt{2}}\\ \\ \\ d=\dfrac{|3+2-7|}{\sqrt{2}}\\ \\ \\ d=\dfrac{|-2|}{\sqrt{2}}\\ \\ \\ d=\dfrac{2}{\sqrt{2}}\\ \\ \\ d=\sqrt{2}\text{ u.c.}$


9) Colocando a equação da circunferência na forma reduzida:

$x^{2}+y^{2}+2x-4y=0\\ \\ x^{2}+2x+1+y^{2}-4y+4=1+4\\ \\ (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=(\sqrt{5})^{2}$


O centro é o ponto $(-1;\,2)$ e o raio mede $\sqrt{5}\text{ u.c.}$


Verifica-se que o ponto $(1;\,1)$ em questão pertence á própria circunferência, pois suas coordenadas satisfazem a equação da circunferência:

$(1+1)^{2}+(1-2)^{2}=5$


Calculando a inclinação entre o centro da circunferência $(-1;\,2)$ e o ponto de tangência $(1;\,1):$

$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\\ \\ m=\dfrac{1-2}{1-(-1)}\\ \\ m=-\dfrac{1}{2}$


O coeficiente angular $m_{\perp}$ da reta tangente é o inverso negativo de $m,$ pois a reta tangente é perpendicular ao segmento de reta formado pelos pontos $(1;\,1)$ e o centro $(-1;\,2):$

$m_{\perp}=-\dfrac{1}{m}\\ \\ \\ m_{\perp}=-\dfrac{1}{(-\frac{1}{2})}\\ \\ \\ m_{\perp}=2$


A equação da reta que passa pelo ponto $P(1;\,1)$ e tem inclinação $m_{\perp}=2$ é dada por

$y-y_{_{P}}=m_{\perp}\,(x-x_{_{P}})\\ \\ y-1=2\,(x-1)\\ \\ y-1=2x-2\\ \\ 2x-y-2+1=0\\ \\ 2x-y-1=0$