Question

7) Prove por indução matemática que

Answer 1

Vamos lá. A Indução Matemática possui duas etapas: a etapa base e a etapa indutiva. A etapa base consiste em verificar se a fórmula é verdadeira para o menor número admitido pela variável $n$, chamado base de indução. Depois criamos a hipótese de indução, na qual admitimos que essa fórmula é verdadeira para $n=k$ e, assim, provamos que ela é válida para todo sucessor $k+1$ de $k$.

Então, vamos provar por indução que:

             $\displaystyle\Large\begin{gathered}1+5+9+\,\dots\,+4n-3=n(2n-1),~\forall n\geqslant1.\end{gathered}$

Base de indução

Como foi afirmado acima que $n\geqslant1$, nossa base de indução será $n=1$:

                                            $\displaystyle\large\begin{gathered}4n-3=n(2n-1)\\\\4\cdot1-3=1(2\cdot1-1)\\\\4-3=2-1\\\\\,1=1.\end{gathered}$

Então a fórmula é verdadeira para $n=1$.

Hipótese de indução

Supondo que a fórmula seja válida para $n=k$

                   $\displaystyle\Large\begin{gathered}1+5+9+\,\dots\,+4k-3=k(2k-1)~~[H]\end{gathered}$

, temos de provar que ela é verdadeira para o sucessor de $k$. Então façamos da seguinte forma:

    $\displaystyle\large\text{ \begin{gathered}1+5+9+\,\dots\,+4k-3=(k+1)(2(k+1)-1)-[4(k+1)-3]\\\\\big[1+5+9+\,\dots\,+4k-3\big]+4(k+1)-3=(k+1)(2k+2-1)\\\\\big[1+5+9+\,\dots\,+4k-3\big]+4(k+1)-3=\boldsymbol{\red{(k+1)(2k+1)}}\\\\=\underbrace{\big[1+5+9+\,\dots\,+4k-3\big]}_{[H]}+\:4(k+1)-3\\\\=k(2k-1)+4(k+1)-3\\\\=2k^2-k+4k+4-3\\\\=2k^2+k+2k+1\\\\=k(2k+1)+1(2k+1)\\\\\,=\boldsymbol{\red{(k+1)(2k+1)}}.\\\\\text{C.q.d.}\end{gathered} }$

Notou que as igualdades da terceira e última linha são iguais? Então está provado por indução que a fórmula é válida para todo $\boldsymbol{n\geqslant1}$.

Bem, de forma simples, na primeira linha alteramos apenas o 2º membro fazendo $k=k+1$. Só que para não alterar a equação original, subtraímos $[4(k+1)-3]$ desse membro. Daí,

• na segunda linha passamos o $[4(k+1)-3]$ para o 1º membro;
• na terceira linha descobrimos que o 2º membro é igual a $(k+1)(2k+1)$;
• na quarta linha fizemos a substituição da soma pela hipótese que havíamos criado.

E a partir da quinta linha em diante, nós estávamos tentando encontrar o valor do 1º membro, no qual vimos que ele é exatamente igual ao 2º membro, comprovando que $1+5+9+\,\dots\,+4n-3=n(2n-1),~\forall n\geqslant1.$

                                                               Um cordial abraço, Nasgovaskov.

Answer 2

Resposta:

Olá bom dia!

A hipótese é:

4n - 3 = n(2n - 1) ∀ n ≥ 1

1. passo: validar a igualdade para n = 1, uma vez que ela vale para todo natural maior ou igual a 1.

4(1) - 3 = 4 - 3 = 1

1(2.1 - 1) = 1(2 - 1) = 1.1 = 1

A igualdade vale para n = 1

2. passo: fazemos n = k.  A igualdade deve valer para k + 1. Logo:

1 + 5 + 9 + ... + 4k - 3 + [4(k + 1) - 3] = (k + 1) [2(k+1) - 1]

Deseja-se provar por indução que

1 + 5 + 9 + ... + 4k - 3 + [4(k + 1) - 3]

implica em:

(k + 1) [2(k+1) - 1]

Que desenvolvendo, dá:

= (k + 1) [2k + 2 - 1]

= (k + 1) (2k + 1)

= 2k² + k + 2k  +1

= 2k² + 3k + 1

Ou seja, precisamos que

1 + 5 + 9 + ... + 4k - 3 + [4(k + 1) - 3] = 2k² + 3k + 1

Como:

1 + 5 + 9 + ... + 4k - 3 = k(2k - 1)

Então

k(2k - 1) + [4(k + 1) - 3]

= 2k² - k + 4k + 4 - 3

= 2k² + 3k + 1

Logo, provamos por indução que 4n - 3 = n(2n - 1) ∀ n ≥ 1.