Question

7) Obter uma P.A. de três termos cuja soma seja igual a 72 e cujo produto
dos extremos é igual a 560​

Answer 1

Relembrando a soma dos termos de uma P.A, que é dada por:

$\fbox{\displaystyle S_n = [a_1+a_1+(n-1).r].\frac{n}{2} }$

onde :

$a_1 =$ primeiro termo

$a_1 + (n-1).r =$ último termo ( basta substituir o valor de n)

$n =$  quantidade de termos

$r =$ a razão da P.A

Vamos montar a P.A da seguinte forma :

$\fbox{\displaystyle (a_1, a_1+r, a_1+2r) }$

A questão diz a soma dos três termos é igual a 72 e o produto dos extremos é igual a 560, ou seja :

a soma dos 3 termos é dada por :

$\fbox{\displaystyle S_n = [a_1+a_1+(3-1).r].\frac{3}{2} = 72 }$

e o produto dos extremos é :

$\fbox{\displaystyle a_1.(a_1+2r) = 560 }$

então temos o seguinte

$\fbox{\displaystyle \left \{ {{[a_1+a_1+2r].\frac{3}{2}=72} \atop {a_1.(a_1+2r)=2}} \right. }$

Vamos resolver esse sistema de duas equações e duas incógnitas.

Vamos mexer na 1ª equação.

$\fbox{\displaystyle [a_1+a_1+2r].\frac{3}{2}=72 \to a_1 + a_1+2r = \frac{72.2}{3} }$

$\fbox{\displaystyle a_1 + a_1+2r = 48 }$

Agora vamos mexer na 2ª equação

$\fbox{\displaystyle a_1.(a_1+2r) = 560 }$

vamos isolar o $(a_1+2r)$, assim :

$\fbox{\displaystyle (a_1+2r) = \frac{560}{a_1} }$

Agora vamos substituir esse $(a_1+2r)$ na 1ª equação :

$\fbox{\displaystyle a_1 + a_1+2r = 48 }$ ⇒ $\fbox{\displaystyle a_1 +\frac{560}{a_1} = 48 }$

Multiplicando toda a equação por $a_1$ e passando todos os termos para esquerda da igualdade :

$\fbox{\displaystyle a_1 +\frac{560}{a_1} = 48 \to a_1^2 +560 = 48.a_1 \to a_1^2-48.a_1+560 = 0 }$

Vamos resolver a equação do 2º grau usando bhaskara

$\fbox{\displaystyle a_1^2 -48.a_1 + 560 }$

temos que :

$\fbox{\displaystyle a_1 = \frac{-(-48)\pm \sqrt{(-48)^2 - 4.1.560}}{2.1} }$

$\fbox{\displaystyle a_1 = \frac{48\pm \sqrt{2304 -2240}}{2} \to a_1 = \frac{48\pm \sqrt{64}}{2} \to a_1 = \frac{48\pm 8}{2} }$

então temos :

$\fbox{\displaystyle a_1' = \frac{48+8}{2} \to a_1' = 28 }$

ou

$\fbox{\displaystyle a_1'' = \frac{48-8}{2} \to a_1'' = 20 }$

Agora precisamos testar os dois valores, deixo essa pra vc treinar.

Então temos que $a_1 = 20$

substituindo na 1ª equação para achar a razão

$\fbox{\displaystyle a_1 + a_1+2r = 48 }$ ⇒

$\fbox{\displaystyle 2a_1+2r = 48 \to a_1+r = 24 \to 20 + r = 24 \to r = 4 }$

Portanto a P.A é a seguinte:

$\fbox{\fbox{\displaystyle P.A \to (20,24,28) }}$