Matemática, perguntado por nicyasmin246, 9 meses atrás

7)- O polinômio x³ + px + q é divisível por x² + 2x + 5. Os valores p e q são, respectivamente: *

10 pontos

A) 2 e 5

B) 5 e 2

C) 1 e 5

D) 1 e -10

E) 3 e 6

Soluções para a tarefa

Respondido por guibt314
11

Resposta:

D

Explicação passo-a-passo:

Tomemos x³+px+q=f(x)  e x²+2x+5=g(x)

Dizer que f(x) é divisível por g(x), é o mesmo que dizer que r(x) (resto) é igual a 0

Logo: r(x)=0

Se é uma divisão podemos reescrever na seguinte forma. Tomando q(x)  (quociente da divisão):

q(x)*g(x)+r(x)=f(x) ≫≫ q(x)*(x²+2x+5)+0=x³+px+q

Tomemos q(x) = ax+b:

(ax+b)*(x²+2x+5) = x³+px+q ≫≫

ax³+2ax²+5ax+bx²+2bx+5b = x³+px+q

ax³+(2a+b) x²+(5a+2b)x+5b=x³+px+q

Logo temos que a = 1. Então:

x³+(2+b) x²+(5+2b)x+5b = x³+px+q

Logo como o coeficiente do grau 2 de f(x) é igual a 0 temos:

2+b=0≫≫b=-2

Se b=-2. Então:

x³+x-10=x³+px+q

Então:

p=1 e q=-10


nicyasmin246: Obrigada ❤❤
Respondido por silvapgs50
0

Pela definição de divisão de polinômios, calculamos que, p é igual a 1 e q é igual a-10, alternativa D.

Divisão de polinômios

Dizemos que um polinômio h(x), diferente do polinômio nulo, divide um polinômio s(x), quando existe k(x), tal que, a igualdade s(x) = h(x)*k(x) é verdadeira. Analogamente, dizemos que a divisão de s(x) por h(x) é exata ou que o resto da divisão é igual a zero.

Como a questão proposta afirma que x² + 2x + 5 divide x³ + px + q, temos que, existe k(x) tal que:

x³ + px + q = k(x)*(x² + 2x + 5)

Como o grau do produto de dois polinômios é a soma dos graus, podemos afirmar que, o grau do polinômio k(x) é igual a 1, portanto, k(x) = ax + b. Dessa forma:

(x² + 2x + 5)*(ax + b) = x³ + px + q

Comparando os polinômios dos dois lados da igualdade, podemos escrever:

a = 1

b + 2 = 0

2b + 5 = p

5b = q

b = -2

p = 1

q = -10

Para mais informações sobre polinômios, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/49430304

#SPJ5

Anexos:
Perguntas interessantes