Question

7) Mostre que a área de um triângulo compreendido
entre os vetores a e b é igual a 1/2 |a × b |
Obs:
| a × b | → módulo do produto vetorial entre os vetores a e b.​

Answer 1

Repare o triângulo amarelo da figura

Imagine que os vetores a e b estão entre o ângulo β ( Que na nossa figura seria o "a")

Supondo o vetor asendo o lado c , e o vetor b sendo o lado b

O triângulo amarelo é retângulo então :

$\dfrac{h}{ \begin{vmatrix}a \end{vmatrix}}= \sin( \beta )$

Logo :

$h = \begin{vmatrix}a \end{vmatrix} \times \sin( \beta )$

Como a área do triângulo é dada por :

$\dfrac{b \times h}{2}$

Onde :

$\fbox{b = \begin{vmatrix}b \end{vmatrix}}$

e:

$\fbox{h = \begin{vmatrix}a \end{vmatrix}\times \sin( \beta ) }$

Ou seja , a área será :

$\dfrac{1}{2} \times \begin{vmatrix}b \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}a \end{vmatrix} \times \sin( \beta )$

porém :

$\begin{vmatrix}b \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}a \end{vmatrix} \times \sin( \beta ) = \begin{vmatrix}a \times b \end{vmatrix}$

Provando o que queríamos .

Espero ter ajudado!!!!!

Answer 2

Produtos Vetoriais

   Existem dois tipos de produtos entre os vetores: produto escalar (ou interno) e produto vetorial (também chamado de produto externo).

   Esse produtos podem ser calculados de forma algébrica ou geométrica. Nesta resolução abordaremos apenas a forma geométrica, visto que a algébrica não se faz necessária, apesar de suficiente.

   $\rightarrow$ Produto escalar:

   Recebe esse nome pois o resultado da multiplicação será um escalar (número). Geometricamente, tal produto se dá pela seguinte forma.(Veja imagem)

$\vec{u}~.~ \vec{v}=|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\cdot cos(\theta)$

   (Módulo de u) x (Módulo de v) x cosseno do ângulo entre eles.

   $\rightarrow$ Produto vetorial:

   Recebe essa denominação, pois o resultado deste produto é um vetor. Esse vetor tem como seu módulo: (Vide imagem)

$|\vec{u}\times \vec{v}|=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot sen(\theta)\quad(\alpha)$

   A direção é sempre perpendicular ao plano em que estão os vetores $\vec{u}~~e~~\vec{v}$ e o sentido desse vetor são determinadas pela Regra de Fleming. Deixarei a explicação prática por conta do autor da questão.

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   Vamos à questão  

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   1. Observe a figura 2:

   Consoante as definições da introdução à trigonometria, sabemos que:

$sen(\theta)=\dfrac{cateto\quad oposto}{hipotenusa}$

   Daí,

$sen(\theta)=\dfrac{h}{|\vec{a}|}\leftrightarrow h=|\vec{a}|\cdot sen(\theta)$

   2. Área de um triângulo qualquer:

   Pela Geometria Euclidiana, a área de todo triângulo pode ser calculada pelo teorema:

$S_{\Delta}=\dfrac{base\times altura}{2}$

   Sendo a base do triângulo da figura igual ao módulo de $\vec{b}$ altura igual a h. Façamos:

$S_{\Delta}=\dfrac{|\vec{b}|\cdot |\vec{a}|\cdot sen(\theta)}{2}$

   3. Substituição do produto vetorial:

$S_{\Delta}=\dfrac{1}{2}\cdot |\vec{b}|\cdot |\vec{a}|\cdot sen(\theta)$

   Substituindo a equação (α):

$S_{\Delta}=\dfrac{1}{2}\cdot (|\vec{a}\times \vec{b}|)$

Nota: observe que o módulo é indispensável, pois o módulo de um vetor pode muito bem substituir qualquer segmento, visto que o módulo de um vetor é interpretado geometricamente como sendo o seu comprimento.

Saiba mais em:

https://brainly.com.br/tarefa/30029842

https://brainly.com.br/tarefa/30037390