Question

7) (ITA) São dadas as parábolas p1: y = - x² - 4x - 1 e p2: y = x² - 3 x + 11/4 cujos vértices são denotados, respectivamente, por V1•e V2. Sabendo que r é a reta que contém V1•e V2, então a distância de r até à origem é

Answer 1

O vértice de uma equação do segundo grau y = ax² + bx + c é calculado por:

$V = (-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a})$

Calculando o vértice de y = -x² - 4x - 1:

$x_v = -\frac{(-4)}{2(-1)} = -2$

$y_v = -\frac{((-4)^2-4(-1)(-1))}{4(-1)} = 3$

Logo, V1 = (-2,3).

Calculando o vértice de $y=x^2-3x+\frac{11}{4}$:

$x_v = -\frac{(-3)}{2} = \frac{3}{2}$

$y_v = -\frac{((-3)^2-4.1.\frac{11}{4})}{4} = \frac{1}{2}$

Logo, $V2 = (\frac{3}{2},\frac{1}{2})$

Precisamos calcular a equação da reta y = ax + b que passa por V1 e V2:

{-2a + b = 3

{$\frac{3a}{2} + b=\frac{1}{2}$

Multiplicando a primeira equação por -1:

{2a - b = -3

{$\frac{3a}{2} + b=\frac{1}{2}$

$\frac{7a}{2} = -\frac{5}{2}$

$a = -\frac{5}{7}$

$\frac{10}{7} + b = 3$

$b = \frac{11}{7}$

Portanto, a reta que passa por V1 e V2 é:

$\frac{5x}{7} + y - \frac{11}{7} = 0$

Para calcular a distância entre a reta ax + by + c = 0 e o ponto P = (x₀,y₀), utilizamos a fórmula:

$d = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Sendo P = (0,0):

$d = \frac{|\frac{5}{7}.0+1.0-\frac{11}{7}|}{\sqrt{(\frac{5}{7})^2 + 1^2}}$

$d = \frac{\frac{11}{7}}{\frac{\sqrt{74}}{7}}$

$d = \frac{11}{\sqrt{74}}$

$d = \frac{11\sqrt{74}}{74}$ → essa é a distância pedida.