7- Faça a fatoração dos números abaixo e diga se o número é ou não um quadrado perfeito.
a) 25
b) 64
c) 72
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
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Existem alguns padrões na Matemática que nos despertam a curiosidade e podem estar relacionados com alguma sequência numérica. Quando vemos números enfileirados, logo nos questionamos sobre o seu padrão de formação. Veja os números a seguir:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 …
Qual deve ser a lógica dessa sequência? A resposta está no número quadrado perfeito. Entenda que um número será quadrado perfeito quando ele for um número inteiro e o seu quadrado gerar outro número inteiro positivo. Veja:
12 = 1 . 1 = 1
22 = 2. 2 = 4
32 = 3 . 3 = 9
42 = 4 . 4 = 16
52 = 5 . 5 = 25
62 = 6 . 6 = 36
72 = 7 . 7 = 49
82 = 8 . 8 = 64
92 = 9 . 9 = 81
102 = 10 . 10 = 100
.
.
.
Após observar esses cálculos, é possível determinar um padrão de formação, que é dado por:
n2 = n . n = a
n2 = a
(n2) é o número inteiro positivo;
(n . n) é o produto de termos numéricos idênticos, que são positivos;
(a) é o número quadrado perfeito.
Exitem algumas regras práticas que ajudam a identificar os números que são quadrados perfeitos.
Primeira Regra: Somente o número quadrado perfeito possui raiz quadrada exata.
Exemplos:
Veja o cálculo da raiz quadrada dos números a seguir:
Segunda Regra: Quando o número é quadrado perfeito, ele não possui como último algarismo os seguintes números: 2, 3, 7 e 8.
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Terceira Regra: Todo número quadrado perfeito que for par possuirá raiz quadrada par. Lembre-se de que um número é considerado par quando for dividido por dois e resultar em um número inteiro.
Exemplos:
Verifique se os números 4, 9 e 16 são pares e calcule a raiz quadrada deles:
4 : 2 = 2 → Temos que 4 é um número par;
9 : 2 = 4,5 → O número 9 não é par;
16 : 2 = 8 → O número quadrado perfeito 16 é par.
Quarta Regra: Um número par será quadrado perfeito se, ao ser dividido por 4, resultar em um número inteiro.
Quinta Regra: Todo número quadrado perfeito que é ímpar possui raiz quadrada ímpar. Um número será ímpar quando ele for dividido por dois e resultar em um número que não é inteiro, ou seja, um número decimal.
Exemplos
Considere os números 100 e 121. Verifique qual é ímpar e calcule a sua raiz quadrada.
100 : 2 = 50 → 100 é par;
121 : 2 = 60,5 → 121 é ímpar.
A raiz quadrada de 121 é 11. Sendo assim, a quinta regra é valida, pois número quadrado perfeito ímpar possui raiz quadrada ímpar.
Sexta Regra: Ao dividir um número quadrado perfeito ímpar por oito, o resto sempre será o número 1.
Exemplos:
Verifique se os números 9 e 25 deixam resto 1 ao serem divididos por 8:
9 | 8
8 1
1
25 | 8
24 3
1
Observando as divisões acima, verificamos que a sexta regra é valida para os números que são ímpares e quadrados perfeitos.
Por Naysa Oliveira
Graduada em Matemática
Para um número ser quadrado perfeito, ele deverá respeitar a seguinte regra de formação: n2= a
Para um número ser quadrado perfeito, ele deverá respeitar a seguinte regra de formação: n2= a