Question

7) E nas funções f(x) = x2 – 6x + 5, e f(x) = - x2 + 4x - 3, determine:
a) As raízes;
b) O vértice;
c) Intersecção da curva com o eixo y
d) Ponto de máximo ou mínimo

Answer 1

Resposta:

Espero ter ajudado!

Explicação passo-a-passo:

a)

$f(x)=x^{2} -6x+5$

Para encontrar as raízes($x_1 ,x_2$), utilizamos a fórmula de Baskara.

Onde dessa função a=1, b=-6 e c=5, então:

x= $\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4.a.c } }{2.a}$

$x=\frac{-(-6)±\sqrt{(-6)^{2}-4.1.5} }{2.1}$

$x=\frac{6±\sqrt{36-20} }{2}$

$x=\frac{6±\sqrt{16} }{2} \\x=\frac{6± 4 }{2} \left \{ {{x_1=\frac{6+4}{2}=\frac{10}{2} =5 } \atop {x_2=\frac{6-4}{2}=\frac{2}{2}=1 }} \right.$

Raízes: 5 e 1

Para a segunda função temos:$f(x)=-x^{2} +4x-3$ ⇒a=-1, b=4 e c=-3

$x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4.a.c } }{2.a}\\x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4.(-1).(-3) } }{2.(-1)}\\x=\frac{-4±\sqrt{16-12} }{-2}\\x=\frac{-4±\sqrt{4} }{-2}\\x=\frac{-4±2 }{-2}\left \{ {{x_1=\frac{-4+2}{-2}= \frac{-2}{-2}=1 } \atop {x_2=\frac{-4-2}{-2} \frac{-6}{-2} =3}} \right.$

Raízes: 1 e 3

b) o Vértice é dado por:

$V=(-\frac{b}{2.a} ,-\frac{b^{2}-4.a.c }{4.a} )$

função 1                                                      

$f(x)=x^{2} -6x+5$                                        

$V=(-\frac{b}{2.a} ,-\frac{b^{2}-4.a.c }{4.a} )\\V=(-\frac{(-6)}{2.1} ,-\frac{(-6)^{2}-4.1.5 }{4.1} )\\V=(-\frac{6}{2} ,-\frac{36-20 }{4} )\\V=(-3 ,-\frac{16}{4} )\\V=(-3 ,-4 )$

função 2

 $f(x)=-x^{2} +4x-3$

$V=(-\frac{b}{2.a} ,-\frac{b^{2}-4.a.c }{4.a} )\\V=(-\frac{4}{2.(-1)} ,-\frac{4^{2}-4.(-1).(-3) }{4.(-1)} )\\V=(\frac{-4}{-2} ,-\frac{16-12 }{-4} )\\V=(2 ,\frac{-4}{-4} )\\V=(2 ,1 )$

c) O gráfico intersepta o eixo y passando pelo ponto (0,c)

função 1                                                      

$f(x)=x^{2} -6x+5$   ⇒   (0,5)

função 2

 $f(x)=-x^{2} +4x-3$  ⇒ (0,-3)

d)A parábola terá ponto máximo se a concavidade for para cima, ou seja, quando a>0. E terá ponto máximo se a concavidade for para baixo, a<0.

E o ponto máximo será o vértice da parábola.

Logo vemos a função 1 tem a>0, logo concavidade para cima, entáo terá ponto mínimo.

Ponto mínimo(-3,-4)

Enquanto a função 2 tem a<0, então a concavidade para baixo, e consequentemente terá um ponto máximo.

Ponto máximo(2,1)