Question

7) Considerando a reta r : 3x + 2y - 6 = 0 e o ponto P=(-1; 0), resolva.
a) Qual a equação reduzida da reta s que passa por P e é paralela a r?
b) Determine a equação reduzida da reta t que passa por P e é perpendicular a r. Quais as coordenadas do ponto de intersecção entre r e t?

Answer 1

Resposta:

3×3+45÷897"%345eetjbdddgk8rdgi4224899

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

a) Queremos uma reta s que passa por P(-1,0) e que seja paralela a r,

observando a equação geral da reta r que foi dada, temos que o vetor direcional dessa reta é v=(2,-3), caso não consiga descobrir o vetor só observando assim, pode calcular dois pontos da reta, atribuindo valores pra x e descobrindo valores de y, se fizermos x=0 temos y=3, e x=2 temos y=0, temos então os pontos A(0,3) e B(2,0), agora podemos calcular o vetor AB, que vai ser (2,-3), ou ainda podemos fazer o vetor BA=(-2,3), ambos servem.

Vamos usar v=(2,-3) aqui,

Como a reta s deve ser paralela a r, então o vetor direcional delas tem de ser o mesmo, como sabemos, com um ponto e o vetor conseguimos uma equação paramétrica da reta:

$x=x_0+at \\y=y_0+bt$

onde $(x_0,y_0)$ é um ponto da reta e $(a,b)$ o vetor direcional dessa reta e $t \in \mathbb{R}$, então a equação paramétrica de s:

$x=-1+2t \\ y=0-3t$

para obter a reduzida a gente monta um sisteminha e desaparece com o t :

$\left \{ {{x=-1+2t} \atop {y=-3t}} \Rightarrow\left \{ {{3x=-3+6t} \atop {2y=-6t}}$ aqui multipliquei encima por 3 e em baixo por 2, agora a gente soma as duas equações e obtemos o seguinte:

$3x+2y+3=0$, essa é a equação geral da reta s, para obter a reduzida basta isolar y:

$2y=-3x-3\\\\y=-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$

portanto,  $y=-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}$ é a equação reduzida de s, que passa por P, e paralela a r.

b) Aqui vamos fazer semelhante ao que foi feito antes, como queremos uma reta t, que passa por P e dessa vez perpendicular a r, vamos trabalhar também com a ideia de vetor, se v=(2,-3) é o vetor de r, então o vetor w=(3,2)(é só trocar os valores de posição e mudar o sinal de um deles, ou ainda mais formal: os vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles é nulo) é perpendicular a v e consequentemente a reta r.

Um ponto e o vetor, só repetir o que foi feito em a e analogamente a gente tem $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}$ como equação da reta t que passa por P e é perpendicular a r.

Para encontrar as coordenadas do ponto de interseção vamos isolar y em r:

$2y=-3x+6\\y=-\dfrac{3}{2}x+3$

agora igualamos ambas:

$\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{3}{2}x+3$

descobrimos o valor de x (vou multiplicar tudo por 6 pra tirar as frações):

$4x+4=-9x+18\\13x=14\\\\x=\dfrac{14}{13}$

agora substituamos x na equação de r ou t, vou fazer em t aqui:

$y=\dfrac{2}{3}.\left(\dfrac{14}{13}\right)+\dfrac{2}{3}\\\\y=\dfrac{28}{39}+\dfrac{2}{3}\\\\y=\dfrac{28+26}{39}\\\\y=\dfrac{54}{39}\\\\y=\dfrac{18}{13}$

portando, o ponto  $Q\left(\dfrac{14}{13},\dfrac{18}{13}\right)$ é o ponto de interseção entre r e t.

É isso aí, qualquer dúvida na resolução pode deixar aí :)

Espero ter ajudado.

(obs: A demonstração de como obter o vetor perpendicular, da forma que eu expliquei brevemente aí, é um exercício muito bom também)