7) Como pode ser classificada uma PA
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Resposta:
Entendemos como progressão aritmética (P.A.) uma sequência numérica que se comporta de forma linear. Após o primeiro termo, somamos um valor fixo denotado algebricamente por r. Para encontrar os próximos termos da sequência, sempre somamos r ao termo anterior, esse valor r é conhecido como razão de uma progressão aritmética.
A P.A. pode ser crescente, decrescente ou constante quando a razão for positiva, negativa ou nula, respectivamente. Além da classificação quanto ao comportamento, uma progressão pode ser classificada como finita ou infinita.
Classificação de uma progressão aritmética
Além da classificação quanto ao comportamento, uma progressão pode ser finita, quando ela possui uma quantidade limitada de termos, ou infinita, quando ela possui quantidade infinita de termos. Uma progressão pode ser classificada como crescente, decrescente ou constante, e essa classificação depende diretamente do valor da razão r.
Para classificar a P.A., precisamos compreender o cálculo da razão. Dada a sequência, para encontrarmos a razão, basta fazer a subtração de um termo pelo seu antecessor. Quaisquer dois termos consecutivos da P.A. geram a razão, ou seja, a diferença de dois números consecutivos será sempre igual a r.
→ Crescente
(-9, -3, 3, 9, 15, 21)
r = 21-15 = 6
Essa é uma P.A. crescente de razão r = 6. Sempre que a razão for positiva, a P.A. será crescente. Note que o segundo termo é maior que o primeiro, o terceiro é maior que o segundo, e assim sucessivamente.
→ Constante
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
r = 1 – 1 = 0
Essa é uma P.A. constante de razão r = 0. Note que os termos são sempre iguais.
→ Decrescente
(10, 8, 6, 4, 2, 0, -2)
r = 8 – 10 = -2
Essa é uma P.A. decrescente, de razão r = - 2. Sempre que a razão for negativa, a progressão será decrescente
Termo geral de uma P.A.
Conhecidos o primeiro termo e a razão de uma progressão, a fórmula para encontrar termos quaisquer de uma sequência pode ser simplificada, gerando o que conhecemos como termo geral de uma P.A., que é uma fórmula que depende só de n para encontrar os termos da progressão.
Exemplo
Encontre o termo geral de uma P.A. que possui r = 2 e a1 = 3.
Resolução
an = a1 + (n – 1) r
an = 3 + (n – 1) 2
an = 3 + 2n – 2
an = 1 + 2n
Esse é o termo geral de uma P.A., que serve para encontrar qualquer termo dessa progressão.
Soma dos termos de uma P.A.
Outra fórmula importante é a soma dos n termos consecutivos da sequência. Com ela é possível calcular a soma dos n termos de uma P.A. conhecendo apenas o primeiro e o n-ésimo. Representada por Sn, é dada por:
Exemplo
Encontre a soma de todos os números pares de 2 até 100.
Resolução
Sabemos que a1 = 100, além disso, sabemos que an=100.
De 1 até 100, existem 100 números, sendo que metade deles são pares. Então, de 1 até 50, existem 50 termos, logo, n = 50.