Question

7) Calcule:
coloquei a foto das perguntas
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Answer 1

a) 1

b) 0

c) -3-i

Explicação

Para resolver essa questão, é importante saber que se n é um número natural, então $\mathsf{i^n=i^r}$ em que r é o resto da divisão de n por 4.

Sabemos que o resto da divisão de números naturais é sempre menor do que o divisor e maior do que ou igual a zero. Desse modo, na divisão por 4, só há quatro restos possíveis: 0, 1, 2 ou 3.

Se $\mathsf{n\in\{0,\,1,\,2,\,3\},}$ então temos os seguintes resultados para as potências de $\mathsf{i^n:}$

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf i^0=1\\\sf i^1=i\\\sf i^{2}=-1\\\sf i^3=i\cdot i^2=i\cdot (-1)=-i\end{array}}$

Sendo assim, vamos à resolução dos dois itens desta questão.

Resolução

Item a

Calcular $\mathsf{i^{60}.}$

Dividindo 60 por 4, obtemos quociente 15 e resto 0. Logo,

$\large\boxed{\mathsf{i^{60}=i^{0}=1.}}$

Item b

Calcular $\mathsf{i^{9}-i^{25}.}$

Dividindo 9 por 4, obtemos quociente 2 e resto 1. Além disso, dividindo 25 por 4, obtemos quociente 6 e resto 1. Consequentemente, temos:

$\large\boxed{\mathsf{i^{9}-i^{25}=i^1-i^1=i-i=0.}}$

Item c

Calcular $\mathsf{i^{126}+i^{-126}+i^{31}-i^{180}.}$

De início, note que:

$\mathsf{i^{126}+i^{-126}+i^{31}-i^{180}=i^{126}+\dfrac{1}{i^{126}}+i^{31}-i^{180}}$

Divida cada expoente por 4 e encontre o resto, como nos itens anteriores, e perceba que:

$\large\mathsf{i^{126}+i^{-126}+i^{31}-i^{180}=}\\\\\\\large\mathsf{=i^{126}+\dfrac{1}{i^{126}}+i^{31}-i^{180}=}\\\\\\\large\mathsf{=i^2+\dfrac{1}{i^2}+i^{3}-i^0=}\\\\\\\large\mathsf{=-1+\dfrac{1}{-1}+(-i)-1=}\\\\\\\large\mathsf{=-1-1-i-1=}\\\\\\\large\mathsf{=-3-i}$

Portanto,

$\large\boxed{\mathsf{i^{126}+i^{-126}+i^{31}-i^{180}=-3-i.}}$

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