Question

7. A soma de dois números é 3 e a soma de seus cubos é 25. Qual é a soma de seus quadrados?

Answer 1

A questão nos diz que a soma de dois números é três e que a soma de seus cubos é 25. Ela nos pede para determinar a soma de seus quadrados, para isso primeiro devemos saber quais números são esses. Desta forma, temos as relação seguintes:

• (x + y) = 3
• x³ + y³ = 25
• x² + y² = ?

Podemos isolar as variáveis da primeira expressão e depois substituir em alguma outra. Assim, para x + y = 3:

x = 3 - y  

y = 3 - x

Substituindo isso na segunda expressão, x³ + y³ = 25:

(3 - y)³ + (3 - x)³ = 25

Para diminuir o grau da expressão podemos abri-la como visto abaixo:

((3 - y)² . (3 - y) )     +     ( (3 - x)² . (3 - x) ) = 25

Assim, temos um um produto notável de grau 2 e poderemos encontrar a soma de seus quadrados mais facilmente:

(9 - 6y + y²). (3 - y) + (9 - 6x + x²).(3 - x) = 25

27 - 9y - 18y +6y² + 3y² - y³ + 27 - 9x - 18x + 6x² + 3x² - x³ = 25

54 - 27y +9y² -y³ - 27x + 9x² - x³ = 25

54 - 27(x + y) + 9( x² + y²) - 1(x³ + y³) = 25

54 - 27.3 + 9(x² + y²) - 1.25 = 25

54 - 81 + 9(x² + y²) - 25 = 25

 9.(x² + y²) = 25 - 54 + 25 + 81

 9.(x² + y²) = 77

 (x² + y²) = 77 / 9

Logo, a soma de seus quadrados é 77/9

Espero ter ajudado, bons estudos :)