Question

7) A primeira derivada da função$y=\frac{4}{\sqrt{(1-4x^2}) }$ é igual a:
A) $y'=-2(1-4x^2)^-\frac{3}{2}$
B) $y'=16x(1-4x^2)^-\frac{3}{2}$
C) $y'=-4x(1-4x^2)^-\frac{3}{2}$
D) $y'=-2x(1-4x^2)^-\frac{3}{2}$
E) $y'=8x(1-4x^2)^-\frac{3}{2}$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Temos que

$y = \frac{4}{ \sqrt{(1 - 4 {x}^{2} )} } = > y = \frac{4}{(1 - 4 {x}^{2})^{ \frac{1}{2} } } = > y = 4.(1 - 4 {x}^{2})^{ - \frac{1}{2} }$

Então, fazendo

$u = 1 - 4 {x}^{2}$

$u' = - 8x$

Agora temos

$y = 4.u^{ - \frac{1}{2} }$

Logo

$y' = - \frac{1}{2} .4u - \frac{3}{2} .u' = > y' = - 2u^{ - \frac{3}{2} } .( - 8x) = > y' = 16x.u ^{ - \frac{3}{2} } = > y' = 16x(1 - 4 {x}^{2} ) ^{ - \frac{3}{2} }$

Alternativa B)

Answer 2

Temos a seguinte função:

$y=\frac{4}{\sqrt{(1-4x^2}) }$

Digamos que essa divisão represente uma função racional, ou seja, a divisão de duas funções, fazendo isso podemos aplicar a regra do quociente para fazer a derivação da mesma. Essa tal regra citada é dada pela seguinte relação:

$\boxed{ y' = \frac{g' (x) .h(x) - g(x).h'(x) }{ [h(x)] {}^{2} }}$

Vamos dizer que g(x) é dada por $4$ e h(x) é $\sqrt{(1-4x^{2})}$. Substituindo cada uma dessas funções no seu devido local na regra:

$y' = \frac{4'.( \sqrt{1 - 4x {}^{2} }) - 4.( \sqrt{1 - 4x {}^{2} } ) ' }{( \sqrt{1 - 4x {}^{2} }) {}^{2} } \\ \\ y' = \frac{ - 4. [(1 - 4x {}^{2} ) {}^{ \frac{1}{2} } ]'}{( \sqrt{1 - 4x {}^{2} ) {}^{2} } } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Note que temos a derivada de uma função composta, logo devemos derivar através da regra da cadeia. Nomeando as funções:

→ Digamos que a primeira função que está dentro do parêntese é dada por "u":

$u = 1 - 4x {}^{2}$

→ Já a função "y" será a "u" elevada a um meio:

$y = u {}^{ \frac{1}{2} }$

Aplicando na regra da cadeia:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{du} (u) { }^{ \frac{1}{2} } . \frac{d}{dx} (1 - 4x {}^{2} ) \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} u {}^{ \frac{1}{2} - 1 } . (- 8x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{u {}^{ - \frac{1}{2} } }{2}. ( - 8x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{ - 8x}{2u {}^{ \frac{1}{2} } } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dy}{dx} = \frac{ - 4x}{ \sqrt{u} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo esse resultado:

$y' = \frac{ - 4. \frac{ - 4x}{ \sqrt{u} } }{(1 - 4x {}^{2} ) {}^{2} } \\ \\ y' = \frac{ \frac{ 16x}{ \sqrt{u} } }{(1 - 4x {}^{2} ) {}^{2} } \\ \\ y' = \frac{ 16x}{ \sqrt{u} } . \frac{1}{(1 - 4x {}^{2} ) {}^{2} }$

Repondo a expressão que representa "u":

$y' = \frac{ 16x}{( \sqrt{1 - 4x {}^{2} }).( \sqrt{1 - 4x {}^{2} ) {}^{2} } } \:\: \:\:\:\:\:\\ \\ \boxed{y' = \frac{ 16x}{ \sqrt{(1 - 4x {}^{2} ) {}^{3} } } \: \: ou \: \: \frac{ 16x}{( 1 - 4x {}^{2} ) {}^{ \frac{3}{2} } }}$

Espero ter ajudado