Question

67. Dadas as matrizes
A= |1 3| B= |-2 1 |
|2 4|. | 0 -3|
C= | -1 0|
| 3 1 |

calcule o determinante:

a) da matriz X = A + B + C
d) de Bt
e) de (A - C)

me ajudem por favooorrrr

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~\det{X}=-24~|~b)~\det{B^t}=6~|~c)~\det{(A - C)}=9}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para determinar o resultado das operações entre as matrizes, devemos relembrar alguns conceitos.

• O determinante de uma matriz, que é resultante da soma de outras matrizes, nunca é igual a soma dos determinantes.

Lembre-se que existe o Teorema de Binet, que trata sobre o determinante de uma matriz que é resultante do produto entre duas outras matrizes, fazendo com que $\det (A\cdot B)=\det A\cdot\det B$. Mas, como dito anteriormente, isso não é válido para operações como soma ou diferença.

• O determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Logo $\det B^t=\det B$.

Então, resolvamos as alternativas:

a) Calcular o determinante da matriz $X=A+B+C$

Sejam as matrizes $A=\begin{bmatrix}1&3\\2&4\\\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}-2&1\\0&-3\\\end{bmatrix}$ e $C=\begin{bmatrix}-1&0\\3&1\\\end{bmatrix}$

Sabemos que a soma de matrizes ocorre somente entre matrizes de mesma ordem, tal que o resultado é dado pela operação entre cada elemento e seu elemento correspondente nas outras matrizes. Isto é:

$X=A+B+C = \begin{bmatrix}1-2-1&3+1+0\\2+0+3&4-3+1\\\end{bmatrix}$

Some os valores

$X=A+B+C = \begin{bmatrix}-2&4\\5&2\\\end{bmatrix}$

Para calcular este determinante, passemos a matriz para a notação correta:

$\det X = \begin{vmatrix}-2&4\\5&2\\\end{vmatrix}$

Utilizaremos a Regra de Sarrus. Em matrizes de ordem 2, consiste apenas na diferença entre o produto dos elementos que pertencem à diagonal principal e o produto dos elementos que pertencem à diagonal secundária. Isto é:

$\det X = (-2)\cdot 2-4\cdot 5$

Multiplique e some os valores

$\det X = -4-20\\\\\\ \det X = -24$

d) Calcular o determinante da matriz transposta de B.

Como dito anteriormente, a o determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original, logo:

$\det B^t=\det B$

Logo, sendo a matriz $B=\begin{bmatrix}-2&1\\0&-3\\\end{bmatrix}$

Utilizando ainda a regra de Sarrus, teremos:

$\det B=\begin{vmatrix}-2&1\\0&-3\\\end{vmatrix}\\\\\\ \det B^t= (-2)\cdot(-3)-1\cdot0$

Multiplique  e some os valores

$\det B^t=6$

e) Calcular o determinante da diferença $A - C$

Como vimos anteriormente, devemos calcular sua diferença antes de calcular o determinante, logo sendo as matrizes $A=\begin{bmatrix}1&3\\2&4\\\end{bmatrix}$ e $C=\begin{bmatrix}-1&0\\3&1\\\end{bmatrix}$, teremos:

$A-C=\begin{bmatrix}1-(-1)&3-0\\2-3&4-1\\\end{bmatrix}$

Efetue a propriedade de sinais e some os elementos

$A-C=\begin{bmatrix}2&3\\-1&3\\\end{bmatrix}$

Passe para a notação de determinante

$\det (A - C) = \begin{vmatrix}2&3\\-1&3\\\end{vmatrix}$

Utilizando ainda a regra de Sarrus, temos:

$\det (A - C) =2\cdot3-3\cdot(-1)$

Multiplique e some os valores

$\det (A - C) =6+3\\\\\\ \det (A - C) =9$

Estas são as respostas para as alternativas a), d) e e).