Question

60 pontos! Exercício 32 C sobre logaritmo!!! Preciso da resolução! A resposta é 4 e 1/2

Answer 1

Oi Notwonderland.

Dada a equação:

$x^{ Log_{ 2 }^{ x } }=4x\quad$

Multiplicando a equação por Log de 2.

$Log_{ 2 }x^{ Log_{ 2 }^{ x } }=Log_{ 2 }4x$

Há uma propriedade dos log que diz que o expoente pode vir multiplicando na frente do Log, então:

$Log_{ 2 }x*Log_{ 2 }x=Log_{ 2 }4+Log_{ 2 }x$

$(Log_{ 2 }^{ x })^{ 2 }=Log_{ 2 }^{ 2^{ 2 } }+Log_{ 2 }^{ x }\\ (Log_{ 2 }^{ x })^{ 2 }=2+Log_{ 2 }^{ x }$

Fazendo a mudança de variável.

$Log_{ 2 }^{ x }=y\\ \\ y^{ 2 }=2+y\\ y^{ 2 }-y-2=0$

Resolvendo a equação por Soma e Produto.

$S=-1+2\Rightarrow 1\\ P=-1*2\Rightarrow -2\\ \\ x^1=-1\\ x^2=2$

Agora temos que substituir o y.

$Log_{ 2 }^{ x }=2\\ 2^{ 2 }=x\\ 4=x\\ \\ Log_{ 2 }^{ x }=-1\\ 2^{ -1 }=x\\ \frac { 1 }{ 2 } =x\\ \\ S=\{ \frac { 1 }{ 2 } ,4\}$