Question

(60 pontos) Em um quadrilátero ABCD, no qual os ângulos ABC e ADC são retos, tem-se que o ângulo ACD é o dobro do ângulo ACB e também AB = 2. Calcule a medida de AD, sabendo que é um valor inteiro. Gabarito: 3 (letra C)
(A) = 4
(B) = 2
(C) = 3
(D) = 6
(E) = 5

Answer 1

Seja W o circuncírculo que passa por A, B, C e D.

Trace a bissetriz do ângulo ACD até X em W.

Veja que os triângulos ACX e ACB são congruentes (caso lado/ângulo/ângulo oposto).

Pela congruência XA = 2. Mas sabemos que XA = XD, pois os mesmos são olhados pelo mesmo ângulo em w.

Pela desigualdade triangular, AD < 4 = XA + XD

Mas o ângulo AXD = 90 + CXD > 90, portanto AXD é o maior ângulo do triângulo AXD ⇒ AX < AD

De maneira que se a medida de AD pertence aos inteiros tal que AD é maior que 2 mas menor que a soma de XA + XD, então AD = 3

Resposta: Letra (C)

Espero ter ajudado! Caso tenha dúvidas quanto a resolução use os comentários!