Question

6 Vece 2016 Se x é um número real tal que
x+ 1/x = 3 então, o valor de x³+1/x³ é:
Sugestão: Você pode usar o desenvolvimento do
cubo de uma soma de dois números reais
(a) 9
(c) 27
(b) 18
(d) 36​

Answer 1

Resposta:

18

Explicação passo-a-passo:

Bom, para fazer essa questão mais facilmente, vamos fazer uma substituição.

Vamos chamar nosso x + 1/x de a, ok?

• x + 1/x = a

Como queremos descobrir o valor de x³ + 1/x³, vamos elevar ambos lados da equação ao cubo:

(x + 1/x)³ = a³

Lembre do produto notável do cubo da soma:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Vamos aplicar a nosso problema:

x³ + 3 * x² * 1/x + 3 * x * 1 /x² + 1/x³ = a³

x³ + 3x + 3/x + 1/x³ = a³

x³ + 1/x³ = a³ - 3x - 3/x

Colocando o 3 em evidência:

x³ + 1/x³ = a³ - 3 (x + 1/x)

Sendo que x + 1/x = 3 (tá no enunciado):

x³ + 1/x³ = a³ - 3 (3)

x³ + 1/x³ = a³ - 9

Mas espera! Eu não sei quanto vale a³. Na verdade, sabe sim! Olhe nossa primeira relação:

x + 1/x = a

Sendo que x + 1/x = 3 (isso tá no próprio enunciado)

a = x + 1/x = 3

a³ = 3 * 3 * 3 = 27

Voltando a nossa equação:

x³ + 1/x³ = a³ - 9

Substituindo a³ = 27:

x³ + 1/x³ = 27 - 9

x³ + 1/x³ = 18