Question

6) Usando escalonamento, resolva o sistema a seguir:
2x + 4y - 2z = 2
- 2x - 2y + 2z = 1
5x + 4y - 3z = 6​

Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos resolver o seguinte sistema de equações

$\begin{cases}2x+4y-2z=2\\ -2x-2y+2z=1\\ 5x+4y-3z=6\\\end{cases}$

Podemos colocá-lo na forma de matriz ampliada:

$\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}2&4 &-2&2\\ -2&-2&2&1\\ 5&4 &-3&6\end{array}\end{bmatrix}$

Para escalonarmos o sistema, devemos escolher o elemento pivô, que no início é o termo $a_{11}$ da matriz e multiplicando a linha por uma constante, de forma que ao somarmos ela com a linha que escolhemos, os elementos correspondentes dessa linha se tornem 0.

Isso é possível pois de acordo com o Teorema de Jacobi, ao multiplicarmos uma linha de uma matriz por uma constante e somarmos a outra, seu determinante não é alterado.

Logo, comecemos escolhendo o elemento pivô $a_{11}=2$

Multiplicamos a primeira linha por 1 e somamos com a segunda.

$\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}2&4 &-2&2\\ -2&-2&2&1\\ 5&4 &-3&6\end{array}\end{bmatrix}~\rightarrow L_1\cdot1+L_2$

A matriz ficará

$\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}2&4 &-2&2\\ 0&2 &0&3\\ 5&4 &-3&6\end{array}\end{bmatrix}$

Agora, multiplicamos a primeira linha por $-\dfrac{5}{2}$ e somamos com a terceira.

$\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}2&4 &-2&2\\ 0&2 &0&3\\ 5&4 &-3&6\end{array}\end{bmatrix}~\rightarrow L_1\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)+L_3$

A matriz ficará

$\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}2&4 &-2&2\\ 0&2 &0&3\\ 0&-6 &2&1\end{array}\end{bmatrix}$

Agora, tomamos o elemento $a_{22}$ como pivô, para continuarmos escalonando a matriz:

Multiplicamos a segunda linha por 3 e somamos com a terceira

$\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}2&4 &-2&2\\ 0&2 &0&3\\ 0&-6 &2&1\end{array}\end{bmatrix}~\rightarrow L_2\cdot3+L_3$

A matriz ficará

$\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc|c}2&4 &-2&2\\ 0&2 &0&3\\ 0&0 &2&10\end{array}\end{bmatrix}$

Agora, podemos finalizar a resolução do sistema a seguir.

Esta é uma matriz triangular superior, de modo que sobrou apenas um elemento na última linha. Este é o coeficiente da incógnita $z$.

Igualemos:

$2z=10$

Divida ambos os lados por $2$

$z=5$

Agora, utilizando a segunda linha, temos

$2y=3$

Divida ambos os lados por $2$

$y=\dfrac{3}{2}$

Por fim, utilizando a primeira linha, temos

$2x+4y-2z = 2$

Substitua os valores já conhecidos

$2x+4\cdot\dfrac{3}{2}-2\cdot5=2$

Multiplique os valores

$2x+6-10=2$

Some os valores

$2x-4=2$

Some $4$ em ambos os lados da equação

$2x=6$

Divida ambos os lados da equação por $2$

$x=3$

O conjunto solução deste sistema é:

$\boxed{\bold{S=\left\{(x,~y,~z)\in\mathbb{R}^3~|~(x,~y,~z)=\left(3,~\dfrac{3}{2},~5\right)\right\}}}$

Answer 2

A solução do sistema abaixo é S = {3, 3/2, 5}.

Essa questão é sobre sistema de equações.

Um sistema de equações é dado por um conjunto de equações com mais de uma variável.

Utilizando o método do escalonamento, temos:

• L2 ⇒ L2 + L1

2x + 4y - 2z = 2

0x + 2y + 0z = 3

5x + 4y - 3z = 6

• L3 ⇒ L3 - (5/2)·L1

2x + 4y - 2z = 2

0x + 2y + 0z = 3

0x - 6y + 2z = 1

• L3 ⇒ L3 + 3·L2

2x + 4y - 2z = 2

0x + 2y + 0z = 3

0x + 0y + 2z = 10

Da última equação, temos:

2z = 10

z = 5

Da segunda equação, temos:

2y = 3

y = 3/2

Da primeira equação, temos:

2x + 4·(3/2) - 2·5 = 2

2x = 2 - 6 + 10

2x = 6

x = 3

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