Question

6. Sendo x1 e x2 raízes da equação ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0, mostre que:

$\frac{1}{x1} + \frac{1}{x2} = - \frac{b}{c}$
socorro
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Answer 1

Resposta:

Primeiro vamos lembrar que, em uma equação do segundo grau temos:

A soma das raízes é -b/a

O produto das raízes é c/a

Com isso dito vamos a soma:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} =\frac{1}{x_1}\cdot\frac{x_2}{x_2} + \frac{1}{x_2}\cdot\frac{x_1}{x_1} = \frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}$

Agora temos duas frações com o mesmo denominador então podemos somar

$\frac{x_2}{x_1x_2} + \frac{x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1 + x_2 }{x_1x_2}$

Agora em cima temos a soma das raízes e em baixo o produto delas, então podemos trocar pelas formulas que vimos

$\frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{\frac{-b}{a}}{\frac{c}{a}} = \frac{-b}{a}\cdot\frac{a}{c} = \frac{-b}{c}$

Então mostramos que

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{-b}{c}$