Question

6) Sabendo que tg x = √7, então, obtenha o valor de cos2 x.

Answer 1

Primeiramente a ideia é usar a relação fundamental $sen^{2} (x) + cos^{2} (x) = 1$, afim de encontrar o equivalente de sen(x) pelo cos(x), veja:
$sen^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)$
Agora vamos elevar a expressão a 1/2 (raiz quadrada) , afim de encontrar o equivalente de sen(x): $sen(x) = \sqrt{1-cos^{2}x }$ . Agora vamos usar a relação básica da tg que é $tg(x) = \frac{sen(x)}{cos(x)}$, afim de encontrar o valor numérico do cosseno ao quadrado de x:
$\sqrt{7} = \frac{ \sqrt{1-cos^{2} (x)} }{cos(x)} = \sqrt{7} cos(x) = \sqrt{1-cos ^{2} (x)}$ ⇒ $7cos^{2} x = 1-cos^{2} x = 8cos^{2} x = 1$
$cos^{2} (x) = \frac{1}{8}$
Agora sabendo que o arco duplo do cosseno é $2cos^{2} x - 1$ basta substituir $cos^{2}(x)$ por $\frac{1}{8}$:
$cos(2x) = 2( \frac{1}{8} )-1 = \frac{2}{8}-1 = \frac{-6}{8} = \frac{-3}{4}$
É isso espero ter ajudado!