Question

6. O triângulo ABC da figura é retângulo em A, AS é a bissetriz interna e AM é mediana. Então, a medida de α , em graus, é a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, podemos concluir que a medida do ângulo é $\boxed{\bf \alpha=15^{o}}$

Primeiramente, vamos organizar os dados que nos é fornecido no enunciado e na imagem.

$B \hat{A}C = 90 {}^{o} \:\: \bigg|\:\:A \hat{C}B = 60 {}^{o}\:\:\bigg | \:\:A \hat{B}C = 30 {}^{o} \\ AM \: \to \: mediana \: \: e \: \: AS \to bissetriz$

Para detelharmos ao máximo de forma organizada os cálculos que serão realizados, vamos montar um roteiro hipotético que seguiremos para a obtenção da resposta.

• Roteiro:

$\begin{cases} {\bf1)} \: relembrar \: mediana \: e \: bissetriz \\ { \bf2)} \: desenhar \: o \: problema \: detalhadamente \\ { \bf3)} \: teorema \: da \: mediana \: relativa \: a \: hipotenusa\end{cases}$

Como foi dito, vamos primeiro relembrar de forma sucinta o conceito de mediana e bissetriz.

• Mediana: é o segmento que parte de um vértice e se estende até o ponto médio do lado oposto a este vértice. Como por exemplo em um triângulo ABC, a mediana relativa a B parte de B e se estende até o ponto médio do segmento AC.

• Bissetriz: muito análoga a mediana, esta é dada por um segmento que parte de um vértice e se estende até o lado oposto deste vértice, não necessariamente até o ponto médio. Além disso, vale ressaltar que ela divide o ângulo do vértice (ponto de partida) ao meio.

Observe que essa mediana divide justamente a hipotenusa do triângulo ao meio, ou seja, torna-,se aplicável o Teorema da Mediana relativa a hipotenusa, que nos diz que:

• A mediana relativa a hipotenusa de um triângulo é congruente com a metade desta hipotenusa.

Sabendo das propriedades implícitas destes segmentos, vamos desenhar um triângulo mais detalhado utilizando-as. (Em anexo na resposta).

Por este desenho podemos ver que gera-se um triângulo isósceles, isto é, os ângulos referentes a base são iguais, então temos $\bf A\hat{B}M=30^{o}=B\hat{A}M$. Pela bissetriz $AS$ o ângulo de 90° foi dividido em dois ângulos de 45°, sendo que em um destes, houve ainda mais uma repartição onde incluiu-se o ângulo $\bf\alpha$. Através do desenho mostrado, podemos ver que:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \bf \alpha + 30 {}^{o} = 45 {}^{o} }$

Portanto, para descobrir o ângulo $\alpha$, basta resolver esta equação básica.

$\alpha + 30 {}^{o} = 45 {}^{o} \: \to \: \alpha = 45 {}^{o} - 30 {}^{o} \\ \boxed{\alpha = 15 {}^{o} }$

Espero ter ajudado

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