Matemática, perguntado por juninho6425, 11 meses atrás

6) O centésimo termo da progressão aritmética (101,131,161, ...) é:

Soluções para a tarefa

Respondido por CyberKirito

$\mathsf{r=131-101=30}$

$\mathsf{a_{100}=a_{3}+97r}$

$\mathsf{a_{100}=161+97.30}$

$\mathsf{a_{100}=161+2910}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{a_{100}=3071}}}$

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (101, 131, 161,...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 101

b)centésimo termo (a₁₀₀): ?

c)número de termos (n): 100 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 100ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do centésimo termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 131 - 101 ⇒

r = 30 (Razão positiva, conforme prenunciado no item d acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o centésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀₀ = 101 + (100 - 1) . (30) ⇒

a₁₀₀ = 101 + (99) . (30) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₀₀ = 101 + 2970 ⇒

a₁₀₀ = 3071

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 100º termo da P.A(101, 131, 161, ...) é 3071.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀₀ = 3071 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o centésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

3071 = a₁ + (100 - 1) . (30) ⇒

3071 = a₁ + (99) . (30) ⇒

3071 = a₁ + 2970 ⇒ (Passa-se 2970 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

3071 - 2970 = a₁ ⇒

101 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 101 (Provado que a₁₀₀ = 3071.)

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