6- Em uma fábrica de ventiladores, a receita na venda de um tipo de ventilador é dada pela função R(x) = - 2x² + 800x e o custo para a produção dos ventiladores é dado por C(x) = 200x + 25000, determine a quantidade de ventiladores a serem produzidas para que o lucro seja máximo.
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Os dados fornecidos pelo enunciado do exercício são as funções de receita de venda R(x) e de custo de produção C(x):
R(x) = - 2x² + 800x
C(x) = 200x + 25000
Para determinarmos o lucro L (x), a equação é definida pela subtração do custo da receita de venda:
L (X) = R (X) - C (X)
L (X) = - 2x² + 800x - 200x + 25.000
L (X) = - 2x² + 600x + 25.000
Esta equação determina o lucro da fábrica de ventiladores.
Como podemos observar, trata-se de uma equação do segundo grau, com concavidade para baixo (já que o valor -2 acompanha o x²).
O valor de máximo de uma função de segundo grau equivale ao topo de sua concavidade.
A forma mais fácil de calcularmos isto é a partir da derivada da função igualada a zero. A derivada da função quadrática é uma reta. Esta reta quando igualada a zero é paralela ao eixo x.
A outra forma é calcularmos o X do vértice e o Y do vértice a partir das seguintes fórmulas:
Função quadrática ou do segundo grau: f(x) = ax² + bx + c
Xv = -b/2a
Yv = -Δ/4a
Desta forma temos: L (X) = - 2x² + 600x + 25.000
Xv = - 600/2 * (-2) = 600/4 = 150
Para calcularmos Y do vértice, precisamos primeniramente calcular o Δ da função:
Δ = b² - 4 * a * c
Δ = 600² - 4 * (-2) * 25.000
Δ = 360.000 + 200.000
Δ = 560.000
Agora, basta substituirmos o valor de Δ na equação de Yv:
Yv = - Δ/2*a
Yv = - 560.000/2*(-2)
Yv = - 560.000/ -4
Yv = 140.000
Portanto o lucro máximo é quando X = 150 e Y = 140.000, ou seja, quando L(x) = 140.000.
R(x) = - 2x² + 800x
C(x) = 200x + 25000
Para determinarmos o lucro L (x), a equação é definida pela subtração do custo da receita de venda:
L (X) = R (X) - C (X)
L (X) = - 2x² + 800x - 200x + 25.000
L (X) = - 2x² + 600x + 25.000
Esta equação determina o lucro da fábrica de ventiladores.
Como podemos observar, trata-se de uma equação do segundo grau, com concavidade para baixo (já que o valor -2 acompanha o x²).
O valor de máximo de uma função de segundo grau equivale ao topo de sua concavidade.
A forma mais fácil de calcularmos isto é a partir da derivada da função igualada a zero. A derivada da função quadrática é uma reta. Esta reta quando igualada a zero é paralela ao eixo x.
A outra forma é calcularmos o X do vértice e o Y do vértice a partir das seguintes fórmulas:
Função quadrática ou do segundo grau: f(x) = ax² + bx + c
Xv = -b/2a
Yv = -Δ/4a
Desta forma temos: L (X) = - 2x² + 600x + 25.000
Xv = - 600/2 * (-2) = 600/4 = 150
Para calcularmos Y do vértice, precisamos primeniramente calcular o Δ da função:
Δ = b² - 4 * a * c
Δ = 600² - 4 * (-2) * 25.000
Δ = 360.000 + 200.000
Δ = 560.000
Agora, basta substituirmos o valor de Δ na equação de Yv:
Yv = - Δ/2*a
Yv = - 560.000/2*(-2)
Yv = - 560.000/ -4
Yv = 140.000
Portanto o lucro máximo é quando X = 150 e Y = 140.000, ou seja, quando L(x) = 140.000.
Brunetty2014:
correta.
Respondido por
4
Resposta:
Boa tarde nos calculos do Yv ficou incorreto pois a formula escolhido ficou incorreta o correto é Yv = - Δ/4*a
Explicação passo-a-passo:
Agora, basta substituirmos o valor de Δ na equação de Yv:
Yv = - Δ/4*a
Yv = - 560.000/4*(-2)
Yv = - 560.000/ -8
Yv = 70.000
Portanto o lucro máximo é quando X = 150 e Y = 70.000, ou seja, quando L(x) = 70.000.
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