Question

6. Em um tubo horizontal escoa água para a atmosfera a uma velocidade de 15m/s, como mostra a figura. Os diâmetros da esquerda e da direita tem 10,0 cm2 e 5,0cm2 .(a) Que volume de água escoa para a atmosfera durante 10 minutos? (b) Qual é a velocidade de entrada da água no lado esquerdo? (c) Qual é a diferença de pressão no lado entre o lado esquerdo e direito do tubo?

Answer 1

Escoam 17,67 m³ para a atmosfera em 10 minutos. A água entra com uma velocidade de 3,75 m/s.

Anexei a figura da questão no final da resolução.

Aplicaremos as equações de Bernoulli nas alternativas.

a) A vazão da água será dada por (aqui apenas manipularemos a fórmula):

$\Delta V = \Delta V * \frac{\Delta t}{\Delta t} = \frac{\Delta V}{\Delta t}*\Delta t$

Consideraremos o tubo centrado no eixo x, deste modo o volume será dado por V = Ax (A é a área da seção transversal perpendicular ao eixo x do tubo e x o comprimento em x). Logo:

$\Delta V = \frac{\Delta (A_1x)}{\Delta t} * \Delta t = A_1\frac{\Delta x}{\Delta t} * \Delta t = A_1*v_1*\Delta t$

A velocidade em 1 é a taxa de variação em x em relação ao tempo, por isso a substituição feita. Substituindo os valores do enunciado, teremos:

$\Delta V = \pi*(0,025)^2*15*(10*60) = 17,67 m^3$

b) Aplicando a equação da continuidade diretamente:

A1v1 = A2v2

πR1²v1 = πR2²v2

Cancelando π em ambos os lados:

R1²v1 = R2²v2

(0,025)²*15 = (0,05)²v2

v2 = 0,009375/0,0025 = 3,75 m/s

c) Devemos calcular P2 - P1. Aplicaremos Bernoulli, como o tubo está na horizontal eliminaremos os termos de altura na equação:

$p_2 + \rho*V_2^2/2 = p_1 + \rho*V_1^2/2\\\\p_2 - p_1 = \rho*(V_1^2 - V_2^2)/2 = 1*10^3*(15^2 - 3,75^2)/2 = 105,47 kPa$

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