Question

6- Determine o perímetro do quadrilátero ABCD a seguir .​

Answer 1

✅ O perímetro do quadrilátero é $\rm P \approx 26{,}78 \: cm$.

❏ Vamos usar algumas relações trigonométricas, posto que temos triângulos retângulos formando o quadrilátero.

❏ Precisamos encontrar a medida do lado adjacente ao ângulo de 30°. Para isso, podemos usar o cosseno do ângulo

$\large\begin{array}{lr}\rm \cos \phi = \dfrac{C{.}A}{H}\\\\\rm \cos 30^{\circ} = \dfrac{x}{12}\\\\\rm \dfrac{\sqrt{3}}{2}= \dfrac{x}{12}\Rightarrow 2x = 12 \sqrt{3} \\\\ \rm x = \dfrac{12 \sqrt{3} }{2}\\\\\red{\underline{\boxed{\rm \therefore\:x = 6 \sqrt{3} \: cm \approx 10{,}39 \: cm}}}\end{array}$

❏ Ainda usando o ângulo de 30°, podemos usar a relação trigonométrica do seno do ângulo:

$\large\begin{array}{lr}\rm \sin \phi = \dfrac{C{.}O}{H}\\\\\rm \sin 30^{\circ} = \dfrac{x}{12}\\\\\rm \dfrac{1}{2}= \dfrac{x}{12}\Rightarrow 2x = 12 \\\\ \rm x = \dfrac{12}{2}\\\\\red{\underline{\boxed{\rm \therefore\:x = 6 \: cm}}}\end{array}$

❏ Agora que descobrimos o cateto oposto ao ângulo de 60°, podemos calcular a hipotenusa do triângulo ∆BCD, usando o seno do ângulo.

$\large\begin{array}{lr}\rm \sin \phi = \dfrac{C{.}O}{H}\\\\\rm \sin 60^{\circ} = \dfrac{6}{x}\\\\\rm \dfrac{ \sqrt{3} }{2}= \dfrac{6}{x}\Rightarrow \sqrt{3} x = 12 \\\\ \rm x = \dfrac{12}{ \sqrt{3}} \cdot \dfrac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} }= \dfrac{12 \sqrt{3} }{{3}}\\\\\red{\underline{\boxed{\rm \therefore\:x = 4 \sqrt{3} \: cm \approx 6{,}93 \: cm}}}\end{array}$

❏ Por fim, para descobrir o cateto adjacente ao ângulo de 60°, podemos usar a tangente do ângulo:

$\large\begin{array}{lr}\rm \tan \phi= \dfrac{C{.}O}{C{.}A}\\\\\rm \tan 60^{\circ} = \dfrac{6}{x}\\\\\rm \sqrt{3}= \dfrac{6}{x}\Rightarrow \sqrt{3} x = 6\\\\ \rm x = \dfrac{6}{ \sqrt{3}} \cdot \dfrac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} }= \dfrac{6 \sqrt{3} }{{3}}\\\\\red{\underline{\boxed{\rm \therefore\:x = 2 \sqrt{3} \: cm \approx 3{,}46 \: cm}}}\end{array}$

✍️ Sabendo de todas as medidas, basta somar tudo:

$\large\begin{array}{lr}\rm P = \ell_1 + \ell_2 + \ell_3+ \ell_4 \\\\ \rm P = 10{,}39 + 6 + 6{,}93 + 3{,}46 \\\\\red{\underline{\boxed{\rm \therefore\: P \approx 26{,}78\: cm}}}\end{array}$

✅ Esse será o perímetro!

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre trigonometria no triângulo retângulo:

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$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$