Question

6. Demonstre que os pontos A(1; 2; 1); B(2; 3; 1) e C(0;-2; 4) determinam um plano e encontre a equação desse plano.

7. Determine a equação do plano cujas interseções com os eixos do sistema de coordenadas são os pontos A(3; 0; 0);B(0;-2; 0) e C(0; 0;-3):

8. Encontre a equação do plano que passa pelo ponto A(5; 1; 2) e é perpendicular ao vetor v = (1; 2; 3):

Answer 1

1. 
Um plano $\pi$ que passa por tres pontos $A(1, 2, 1)$, $B(2, 3, 1)$ e $C(0, -2, 4)$ deve ser tal que o seu vetor normal $\bold{n}$ deve ser dado pelo produto vetorial $\bold{n} = \bold{AB} \times \bold{AC}$. Os vetores em questão são

$\bold{AB} = (2 - 1, 3 - 2, 1 - 1) = (1, 1, 0) \\ \bold{AC} = (0 - 1, -2 - 2 , 4 - 1) = (-1, -4, 3)$

O produto vetorial entre os referidos vetores é

$\bold{AB} \times \bold{AC} = \left[\begin{array}{ccc}i}&j&k\\1&1&0\\-1&-4&3\end{array}\right] = (3, -3, -3)$

O vetor que acabamos de obter é normal ao plano $\pi$, isto é, 

$\bold{n} = \bold{AB} \times \bold{AC} = (3, -3, -3)$

Sendo assim, verificamos que o plano $\pi$ tem equação da forma

$3x - 3y - 3z + d = 0$

Resta obter a constante d. Para tanto, substituímos as coordenadas de qualquer um dos pontos que pertencem ao plano - por exemplo, o ponto C(0, -2, 4):

$3x - 3y - 3z + d = 0 \\ \therefore 3(0)-3(-2)-3(4)+d= 0 \\ \therefore 0 + 6 - 12 +d = 0 \\ \therefore d = 6$

Por fim, a equação do plano $\pi$ é 

$3x - 3y - 3z + 6 = 0 \ \square$

2.
Vamos usar a mesma técnica da equação anterior. Sejam os vetores  

$\bold{AB} = (0 - 3, -2 - 0, 0 - 0) = (-3, -2, 0)$

$\bold{AC} = (0 - 3, 0 - 0, -3 - 0) = (-3, 0, -3)$

o vetor normal $\bold{n}$ ao plano é 

$\bold{n} = \bold{AB} \times \bold{AC} = \left[\begin{array}{ccc}i}&j&k\\-3&-2&0\\-3&0&-3\end{array}\right] = (6, -9, -6)$

Sendo assim, o plano $\pi$ tem equação de forma 

$6x -9y -6z + d=0$

Substituímos um ponto qualquer para encontrar a constante d - por exemplo, o ponto C(0, 0, -3):

$6(0) -9(0) -6(-3) + d=0 \\ \therefore d = - 18$

Portanto, a equação do plano é 

$6x -9y -6z - 18=0 \ \square$

3. 
Se o vetor $\bold{v} = (1, 2, 3 )$ é normal ao plano, podemos imediatamente inferir que sua equação é dada por 

$x+2y+3z +d = 0$

O ponto A(5, 1, 2) pertence ao plano. Portanto, podemos substituir suas coordenadas na equação do plano para obter a equação do plano 

$(5)+2(1)+3(2) +d = 0 \\ \therefore 5 + 2 + 6 + d = 0 \\ \therefore 13 + d = 0 \\ \therefore d = -13$

Portanto, a equação do plano é 

$x+2y+3z -13 = 0 \ \square$