Question

6. Dada a PG(512, 256, ... , 1/2 ), calcule o número de termos dessa progressão​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{n=11}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para determinarmos o número $n$ de termos desta progressão geométrica, devemos utilizar a fórmula do termo geral:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Para isso, precisaremos saber o valor da razão $q$.

Sabemos que $q=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$

Como podemos ver, temos termo $a_2$ da progressão, logo

$q=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{256}{512}$

Simplifique a fração

$q=\dfrac{1}{2}$

Então, substituindo $a_n=\dfrac{1}{2}$, $a_1=512$ e $q=\dfrac{1}{2}$ na fórmula do termo geral, temos:

$\dfrac{1}{2}=512\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

Transforme todas os termos em potências de base $2$, lembrando que $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$.

$2^{-1}=2^9\cdot(2^{-1})^{n-1}$

Lembre-se que $\LARGE(a^m)^n=a^{m\cdot n}$

$2^{-1}=2^9\cdot2^{-(n-1)}$

Sabemos que $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

$2^{-1}=2^{9-(n-1)}$

Some os termos no expoente, efetuando a propriedade distributiva

$2^{-1}=2^{9-n+1}\\\\\\ 2^{-1}=2^{10-n}$

As bases são iguais, logo os expoentes são iguais

$10-n=-1$

Isole $n$

$n=10+1\\\\\\ n=11$

Este é o número de termos desta progressão.