Question

6) Dada a função f (x) 2x 3x 12x 3 2   

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = 2x {}^{3} -3 x {}^{2} - 12x$

A questão nos pede parar encontrar os intervalos onde a função é côncava para cima, côncava para baixo e os pontos de inflexão, para isso devemos partir para a derivada segunda, ou seja, devemos derivar essa função duas vezes:

→ Primeira derivada:

$f'(x) = 6x {}^{2} - 6x - 12$

→ Segunda derivada:

$f''(x) = 12x - 6$

Agora temos encontrar os pontos críticos que anulam a derivada primeira, ou seja, devemos encontrar as raízes da função.

$\begin{cases}6x {}^{2} - 6x - 12= 0 \end{cases} \to \begin{cases}x_1 = - 1 \\ x_2 = 2\end{cases}$

Vamos fazer um análise "completa" dessa função, começando pela análise dos máximos locais e os mínimos locais. Para iniciar devemos substituir os pontos críticos na derivada segunda:

$\begin{cases} \ast \text{\: para \: x = - 1 }\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f''( - 1) = 12x - 6 \: \: \: \: \\ f''( - 1) = 12.( - 1) - 6 \: \: \: \\ f''( - 1) = - 12 - 6 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f''( - 1) = - 18\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \end{cases} \begin{cases} \ast \: \text{para \: x =2} \\ f ''( 2) = 12x - 6 \\ f''(2) = 12.2 - 6 \\ f''(1) = 24 - 6 \\ f''(2) = 18\end{cases}$

Devemos lembrar que:

$f''(x) > 0 \to m \acute{i}nimo \\ f''(x) < 0 \to m \acute{a}ximo$

Para consolidar de fato o ponto de máximo e mínimo, vamos substituir os pontos críticos na função f(x) sem haver a a derivação:

$f(2) = 2.2 {}^{3} - 3.2 {}^{2} - 12.2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f(2) = 16 - 12 - 24 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f(2) = - 20 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ f( - 1) = 2.( - 1) {}^{3} - 3.( - 1) {}^{2} - 12.( - 1) \\ f ( - 1) = - 2 - 3 + 12 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f( - 1) = - 5 + 12 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f( - 1) = - 7 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Portanto podemos concluir que:

$f''( - 1 , - 7 ) \to m \acute{a}ximo \: \: \: \: \: \\ f''(2, - 20 ) \to m \acute{i}nimo \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos ver os intervalos de crescimento e decrescimento dessa função, logo devemos pegar a primeira derivada e analisar quando ela é maior e menor que "0":

$6x{ }^{2} - 6x - 12 > 0 \\ 6x {}^{2} - 6x - 12 < 0$

Montando o gráfico simplificado dessa função, para que possamos analisar quando a mesma é maior que "0" e menor que "0".

→ Para x maior que "0" (crescente/positivo) temos que os valores para "x" só podem ser menores que 1 e maiores que 2 para que essa condição seja cumprida, ou seja:

$] - \infty , - 1[ \: \: \: e \: \: \: ] 2, + \infty [ \to crescente$

→ Para x menor que "0" (decrescente/negativo) temos que os valores de "x" só podem estar entre -1 e 2, então:

$] - 1,2[ \: \: \to decrescente$

Agora vamos analisar a concavidade dessa parábola, então vamos pegar a derivada segunda e fazer a mesma coisa que fizemos acima ↑, lembrando que:

$f''(x) > 0 \to concavidade \: p/cima \: \\ f''(x) < 0 \to concavidade \: p/ baixo$

Aplicando:

$\begin{cases}12x - 6 > 0 \\ 12x > 6 \\ x > \frac{6}{12} \\ x > \frac{1}{2} \end{cases} \begin{cases} 12x - 6 < 0 \\ 12x < 6 \\ x < \frac{6}{12} \\ x < \frac{1}{2} \end{cases} \\ \\ x > \frac{1}{2} \to concavidade \: p/cima \\ x < \frac{1}{2} \to concavidade \: p /baixo \\ \\ ] 1/2/, + \infty [ \: \: \to \: \: concavidade \: p/cima \\ ] - \infty,1 /2[ \: \to concavidade \: p/baixo \: \:$

O ponto de inflexão é notavelmente dado pelo 1/2, Então vamos substituir esse valor na função para consolidarmos o ponto de inflexão:

$f(x) = 2x {}^{3} - 3x {}^{2} - 12x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f(1/2) = 2.(1/2) {}^{3} - 3.(1 /2) {}^{2} - 12.(1/2) \\ f(1/2) = 2.(1/8) - 3.(1/4) - 6 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f(1/2) = 1/4 - 3/4 - 6 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f(1/2) = - 1/2 - 6 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f(1/2) = - 1 - 12/2\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f(1/2) = - 13/2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Temos então que o ponto de inflexão é:

$(1/2 , - 13 /2) \to ponto \: de \: inflex \tilde{a}o$

Espero ter ajudado