Question

6. Calcule a soma dos ângulos a, b, c, d, e, indicados na figura. a b.​

Answer 1

✅ Após ter realizado todos os cálculos, concluímos que a soma dos ângulos internos de todas as pontas do referido polígono estrelado é:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S_{P} = 180^{\circ}\:\:\:}} \end{gathered} }$

Observe que no centro do polígono "estrelado" de 5 pontas temos um pentágono.

Sabendo que o ângulo interno "Ai" de um polígono regular e convexo pode ser calculada com ajuda da seguinte fórmula:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_{i} = \frac{(n - 2)\cdot180}{n} \end{gathered}$

Supondo que o referido polígono estrelado seja regular e esteja inscrito em uma circunferência, então, o polígono central - resultante do cruzamento das retas suportes das pontas - é um pentágono regular convexo. Neste caso:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}n = 5 \end{gathered}$

Calculando o ângulo interno "Ai" do pentágono temos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_{i} = \frac{(5 - 2)\cdot180}{5} \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{3\cdot180}{5} \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{540}{5} \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 108 \end{gathered}$

Portanto, o ângulo interno do pentágono é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_{i} = 108^{\circ} \end{gathered}$

Cada uma das pontas é formada por um triângulo isósceles, onde os ângulos da base "Ab" são iguais. Cada um desses ângulos da base é o suplemento do ângulo interno do pentágono regular. Logo, todos os ângulos da base são congruentes e medem:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_{b} = 180 - 108 = 72\end{gathered}$

Portanto, cada ângulo da base mede:

                  $\large\displaystyle\begin{gathered}A_{b} = 72^{\circ} \end{gathered}$

Com isso, os ângulos agudos formados por cada ponta "Ap" pode ser calculado como:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_{p} = 180 - 2\cdot A_{b} \end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 180 - 2\cdot72 \end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 180 - 144 \end{gathered}$

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 36 \end{gathered}$

Portanto, cada ângulo da ponto vale:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_{p} = 36^{\circ} \end{gathered}$

Como estamos querendo calcular a soma dos ângulos das pontas "Sp" e, sabendo que o polígono estrelado possui 5 pontas, então:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}S_{p} = 5\cdot A_{p} \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 5\cdot36 \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 180 \end{gathered}$

✅ Portanto, a soma das mediadas dos ângulos das pontas é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}S_{p} = 180^{\circ} \end{gathered}$

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