Question

6) Calcule a distância entre as retas 2x + 4y – 1 = 0 e 2x + 4y + 7 = 0

Answer 1

Resposta:

segue resposta e explicação:

Explicação passo a passo:

Sejam as retas:

1ª            $r: 2x + 4y - 1 = 0$

2ª           $s: 2x + 4y + 7 = 0$

Antes de mais nada devemos ter consciência que só existe distância entre duas retas se elas forem  paralelas.

Para sabermos e as retas "r" e "s" são paralelas devemos verificar seus coeficientes angulares. Se estes coeficientes angulares forem iguais então as retas são paralelas.

Passando as equações das retas para a forma reduzida temos:

3ª           $r: y = -\frac{x}{2} + \frac{1}{4}$

4ª           $s: y = -\frac{x}{2} - \frac{7}{4}$

Neste ponto percebemos que os coeficientes angulares de "r" e "s" são iguais, então:

             $m_{r} = m_{s} = -\frac{1}{2}$

Então:

                    r // s

Além disso os coeficientes lineares são:

                    $n_{r} = \frac{1}{4}$

                    $n_{s} = -\frac{7}{4}$

Como os coeficientes lineares são diferentes, implica dizer que as retas não são coincidentes.

Portanto, as retas são paralelas e não coincidentes. Desta forma, podemos sim calcular a distância entre as duas retas.

Para calcularmos a distância entre as duas retas primeiramente devemos atribuir um ponto qualquer em uma das duas retas e depois, calcular a distância entre este ponto e a outra reta.

Então, fazendo x = 0 na reta "r", temos:

              $y = -\frac{0}{2} + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Portanto, o ponto escolhido, pertencente à reta "r" é P, tal que:

                      $P(0, \frac{1}{4} )$

OBS: A distância da reta "s" ao ponto "P" é a menor distância entre "s" e "P". O que significa dizer que P tem que pertencer à reta "t" perpendicular a reta "s". Neste caso a reta t é:

              $t: -4x + 2y - 0,5 = 0$

Agora devemos calcular a distância da reta "s" ao ponto P. Então:

          $D(s, P) = \frac{|aPx + bPy + c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} } }$

                       $= \frac{|2.0 + 4.\frac{1}{4} + 7|}{\sqrt{2^{2} + 4^{2} } }$

                       $= \frac{|0 + 1 + 7|}{\sqrt{4 + 16} }$

                       $= \frac{8}{\sqrt{20} }$

                       $= \frac{8}{\sqrt{20} } . \frac{\sqrt{20} }{\sqrt{20} }$

                       $= \frac{8\sqrt{20} }{20}$

                       $= \frac{8.2\sqrt{5} }{20}$

                       $= \frac{16\sqrt{5} }{20}$

                       $= \frac{4\sqrt{5} }{5}$

Portanto, a distância entre a reta "s" e o ponto P é:

          $D(s, P) = \frac{4\sqrt{5} }{5}$    

Veja também a resolução gráfica da questão: