6 - Aplicando os produtos notáveis,desenvolva ou reduza as seguintes expressões algébricas:
a) (x — 3)² + (x + 3)³ =
b) (x — y)³ — x (x + y)² =
c) (2a + 5b²)²— 3(3a — b)³ =
d) (m — 3n)² — (m + 3n)² =
Soluções para a tarefa
a) (x - 3)² + (x + 3)³
⠀⠀x² - 6x + 9 + x³ + 9x² + 27x + 27
⠀⠀x³ + 10x² + 21x + 36b
⠀⠀
b) (x - y)³ - x(x + y)²
⠀⠀ x³ - 3x²y + 3xy² - y³ - x(x² + 2xy + y²)
⠀⠀x³ - 3x²y + 3xy² - y³ - x³ - 2x²y - xy²
⠀⠀-5x²y + 2xy² - y³
⠀⠀
c) (2a + 5b²)² - 3(3a - b)³
⠀⠀4a² + 20ab² + 25b⁴ - 3(27a³ - 27a²b + 9ab² - b³)
⠀⠀4a² + 20ab² + 25b⁴ - 81a³ + 81a²b - 27ab² + 3b³
⠀⠀4a² - 7ab² + 25b⁴ - 81a³ + 81a²b + 3b³
⠀⠀
d) (m - 3n)² - (m + 3n)²
⠀⠀m² - 6mn + 9n² - (m² + 6mn + 9n²)
⠀⠀m² - 6mn + 9n² - m² - 6mn -9n²
⠀⠀-12mn
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Essa questão é sobre produtos notáveis.
Produtos notáveis são multiplicações onde os fatores são polinômios. Os produtos notáveis mais conhecidos são:
- Quadrado da soma:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
- Quadrado da diferença:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
- Produto da soma pela diferença:
(a + b)(a - b) = a² - b²
- Cubo da soma:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- Cubo da diferença:
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
a) Aplicando o quadrado da diferença e o cubo da soma, temos:
(x - 3)² + (x + 3)³
= x² - 6x + 9 + x³ + 9x² + 27x + 27
= x³ + 10x² + 21x + 36
b) Aplicando o cubo da diferença e o quadrado da soma, temos:
(x - y)³ - x(x + y)²
= x³ - 3x²y + 3xy² - y³ - x(x² + 2xy + y²)
= x³ - 3x²y + 3xy² - y³ - x³ - 2x²y - xy²
= -5x²y + 2xy² - y³
c) Aplicando o quadrado da soma e o cubo da diferença, temos:
(2a + 5b²)² - 3(3a - b)³
= 4a² + 20ab² + 25b⁴ - 3(27a³ - 27a²b + 9ab² - b³)
= 4a² + 20ab² + 25b⁴ - 81a³ + 81a²b - 27ab² + 3b³
= 25b⁴ - 81a³ + 3b³ + 4a² + 81a²b - 7ab²
d) Aplicando o quadrado da diferença e o quadrado da soma, temos:
(m - 3n)² - (m + 3n)²
= m² - 6mn + 9n² - (m² + 6mn + 9n²)
= -12mn
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