Question

6. A medida do segmento de reta PA da circunferência a seguir é
a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 8.​

Answer 1

A medida do segmento de reta $\sf\overline{PA}$ vale 6 ou seja, alternativa C.

Relações Métricas na Circunferência:

Na Geometria Plana, temos um assunto chamado Relações Métricas na Circunferência, no qual temos 4 propriedades que podem ser chamadas também de relações, são elas:

❑ Relação entre duas cordas: $\sf PA \cdot PB=PC \cdot PD$

❑ Relação de segmentos de retas secantes em relação a circunferência: $\sf PA \cdot PB=PC \cdot PD$

❑ Relação de segmentos de retas secantes e tangentes em relação a circunferência: $\sf (PC)^{2} =PA \cdot PB$

❑ Relação de segmentos de retas tangentes em relação a circunferência:

$\sf PA=PB$

Resolução:

Em seu exercício utilizaremos a Relação de segmentos de retas secantes em relação a circunferência.

Uma observação muito importante a ser abordada, é que nesse caso a relação sofrerá uma mudança na fórmula, ficando:

$\sf (PA+PA) \cdot PA=(PB+PB) \cdot PB$

Exemplificando teríamos que, Medida de dentro da circunferência mais medida de fora vezes medida de dentro do segmento PA, é igual a medida de dentro da circunferência mais medida de fora vezes medida dentro do segmento PB.

Aplicando essa relação teremos:

$\sf(x+2+x) \cdot x=(3+1) \cdot 3\\\sf(2x+2) \cdot x=(3+1) \cdot 3\\\sf (2x \cdot x+2 \cdot x)=(3 \cdot 3+1 \cdot 3)\\\sf2x^{2} +2x=(3 \cdot 3+1 \cdot 3)\\\sf2x^{2} +2x=9+3\\\sf2x^{2} +2x=12$

Agora vamos passar o 12 para o outro lado, invertendo o sinal dele, ou seja, chegaremos em uma Equação de Segundo Grau.

$\sf2x^{2} +2x-12\\\sf2x^{2} +2x-12=0\\\begin{cases}\sf a=2\\\sf b=2\\\sf c=-12\end{cases}\\\sf\Delta=b^{2} -4 \cdot a \cdot c\\\sf\Delta=(2)^{2} -4 \cdot 2 \cdot (-12)\\\sf\Delta=4-4 \cdot 2 \cdot (-12)\\\sf\Delta=4-8 \cdot (-12)\\\sf\Delta=4-(-96)\\\sf\Delta=4+96\\\sf\Delta=100$

$\sf x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta} }{2 \cdot a} \\\sf x=\frac{-2\pm\sqrt{100} }{2 \cdot 2} \\\sf x=\frac{-2\pm10}{4} \\\sf x_1=\frac{-2+10}{4} \\\sf x_1=\frac{8}{4} \\\boxed{\sf{x_1=2}}\\\\\sf x_2=\frac{-2-10}{4} \\\sf x_2=\frac{-12}{4} \\\boxed{\sf{x_1=-3}}$

Como estamos falando de figuras geométricas, valores negativos não convém. Portanto o valor dessa figura será 2, MAS não terminamos a questão já que, o exercício pede o valor do segmento PA, portanto, iremos pegar todo o segmento $\sf x+2+x$ e substituir aonde estiver a incógnita por 2 para finalizarmos o exercício.

$\sf x+2+x\\\sf2+2+2\\\sf4+2\\\boxed{\purple{\sf{6\checkmark}}}$

Para saber mais sobre Relações Métricas na Circunferência acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/23484757

https://brainly.com.br/tarefa/27979580

$\mathfrak{J'esp\grave{e}re\: que\: ma\: r\acute{e}ponse\: est\: utile.}\heartsuit$