Question

6. A equação da circunferência com centro na origem e raio igual ao semieixo menor da elipse x 2 + 4y 2 = 4 é: a) x 2 + y 2 = 2 b) x 2 + y 2 = 16 c) x 2 + y 2 = 4 d) x 2 + y 2 = 1 e) x 2 + y 2 = 2


-------- 7. Uma elipse está centrada na origem, tem os seus eixos sobre os eixos coordenados e é tangente simultaneamente a x 2 + y 2 = 4 e x 2 + y 2 = 9. Na determinação desta elipse verifica-se que: a) a solução é 1 16 y 36 x 22 b) não há solução c) a solução é 4x 2 + 9y 2 = 36 d) a solução é (x – 3) 2 + (y – 2) 2 = 1 e) há mais de uma solução

Answer 1

Resposta:

6 - Sendo x² + 4y² = 4 uma equação de uma elipse, então podemos dizer que:

Perceba que a equação da elipse é da forma .

Então, temos que a = 2 e b = 1.

O eixo menor de uma elipse possui comprimento igual a 2b. Sendo assim, o comprimento do eixo menor da elipse é 2.

Daí, o semieixo menor terá comprimento igual a 1, que é o raio da circunferência.

A equação de uma circunferência é da forma (x - x₀)² + (y - y₀)² = r², sendo o ponto (x₀,y) o centro e r o raio.

Como a circunferência possui centro na origem, então x₀ = y₀ = 0.

Portanto, a equação da circunferência é igual a x² + y² = 1.

Answer 2

6) A equação da circunferência é x² + y² = 1, alternativa D.

7) Na determinação dessa elipse, há mais de uma solução, alternativa E.

Elipses

A equação reduzida da elipse com focos no eixo x é da forma x²/a² + y²/b² = 1. Algumas relações da elipse são:

• a² = b² + c²

• Medida do eixo maior = 2a

• Medida do eixo menor = 2b

• Distância entre os focos = 2c

a) Podemos escrever a equação da elipse na forma reduzida ao dividi-la por 4:

x²/4 + y²/1 = 1

Nesta equação, o semieixo menor mede b = 1, logo, a circunferência com esse raio e centro na origem tem equação:

(x - 0)² + (y - 0)² = 1²

x² + y² = 1

b) Esta elipse é simultaneamente tangente às circunferências x² + y² = 4 e x² + y² = 9, ou seja, circunferências de raio 2 e 3 centradas na origem. Seus semieixos então terão medidas iguais aos raios dessas circunferências:

a = 3 e b = 2 ou a = 2 e b = 3

As equações ficam:

x²/3² + y²/2² = 1 → 4x² + 9y² = 36

x²/2² + y²/3² = 1 → 9x² + 4y² = 36

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