Question

59. (FUVEST) - O centro da circunferência que passa pelos pontos (4; 6) e(-6: 4) e pertence à reta 3x + y - 12 = 0 é:

Answer 1

Resposta:

O centro  da circunferência vale C(-6,30)

Explicação passo a passo:

Observe que os pontos pertencentes a circunferência (4; 6) e (-6: 4)  não são opostos, logo é uma corda. Vamos determinar a equação da reta (s) dessa corda:

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\4&6&1\\-6&4&1\end{array}\right] =0\\\\\\\left[6.1-4.1\right]x-\left[4.1-(-6).1\right]y+4.4-(-6).6=0\\\left[6-4\right]x-\left[4-(-6)\right]y+16-(-36)=0\\2x -10y + 52=0~~~~~~(\div2)~\\(s): x-5y+26=0$

5y=x+26

y= x/5+26/5

ms = 1/5

A reta r que passa pelo centro é perpendicular a reta s.

mr.ms = -1

mr = -1/ms

mr = -1/(1/5)= -5

Um ponto que pertence a reta r é a média dos pontos (4; 6) e (-6: 4):

xr=[4+(-6)]/2= -2/2 = -1

yr=(6+4)/2=10/2=5

y-yr=m(x-xr)

y-5= -5[x-(-1)]

y-5= -5x-5

(r): y= -5x

O centro da circunferência será a solução do sistema:

3x + y - 12 = 0 (I)

y = -5x (II)

Para resolver o sistema substitua (II) em (I):

3x-5x-12=0

-2x=12

x= -12/2 = -6

Para achar o valor de y substitua x = -6 em (II):

y = -5(-6) = 30

O centro  da circunferência vale C(-6,30)

Daqui em diante o desenvolvimento não foi solicitado

Podemos também determinar o raio que é a distância do ponto (-6: 4) ao C(-6,30):

A(-6,4) e C(-6,30)

A(-6,4) => xA=-6 e yA=4

C(-6,30) => xC=-6 e yC=30

dAC=√[(xC-xA)²+(yC-yA)²]

dAC=√{[-6-(-6)]²+[30-(4)]²}=√[(0)²+(26)²]=√676

R = √676

R² = 676

A equação da circunferência:

(x-xC)²+(y-yC)²-R²=0

(x+6)²+(y-30)²-676=0

Veja a construção das retas e cincunferência em anexo