Question

57 PONTOS!

CUIDADO! Não responda qualquer coisa, ou sua resposta será apagada. Se vale 57 pontos, é porque o exercício necessita de todas as resoluções, e não só de uma!


1. O gráfico da função f(x) = ax² + bx + c passa pelos pontos A(0,3), B(1,0) e C(2,-1). Determine:

a) os coeficientes;
b) as raízes;
c) as coordenadas do vértice;
d) o gráfico;
e) o valor mínimo;
f) o conjunto imagem;
g) o estudo de sinal;
h) f(-3);

2. O gráfico da função f(x) = x² + 6x + Σ passa pelo ponto P(1,3), determine:

a) os coeficientes;
b) as raízes;
c) as coordenadas do vértice;
d) o gráfico;
e) o valor mínimo;
f) o conjunto imagem;
g) o estudo de sinal;
h) f(-1) + f(3) - 2f(1);

Answer 1

Oi Matheus.

Resolvendo a número 1, temos que achar a equação. Ele deu os pontos, então é só substituir e encontrá-la. Lembrando que por se tratar de uma par ordenado, o primeiro elemento é o x e o segundo o y.

$f(x)=ax^{ 2 }+bx+c\\ \\ A(0,3)\\ B(1,0)\\ C(2,-1)\\ \\ \\ A(0,3)\\ a(0)+b(0)+c=3\\ c=3\\ \\ B(1,0)\\ a(1)^{ 2 }+b(1)+c=0\\ a+b+c=0\\ a+b+3=0\\ a+b=-3\\ \\ C(2,-1)\\ a(2)^{ 2 }+b(2)+c=-1\\ 4a+2b+c=-1\\ 4a+2b+3=-1\\ 4a+2b=-1-3\\ 4a+2b=-4$

Resolvendo o sistema encontraremos:

$a+b=-3\quad (-2)\\ 4a+2b=-4\\ \\ -2a-2b=6\\ 4a+2b=-4\\ 2a=2\\ a=\frac { 2 }{ 2 } \rightarrow 1\\ \\ a+b=-3\\ 1+b=-3\\ b=-3-1\\ b=-4$

Então a equação é essa:

$x^{ 2 }-4x+3$


Agora vamos responder as alternativas.


$A)\\ a=1\quad b=-4\quad c=3$


Para achar as raízes basta colocar 0 no y.

$B)\\ x^{ 2 }-4x+3=0\\ S=1+3\rightarrow 4\\ P=1*3=3\\ \\ x^{ I }=1\quad x^{ II }=3$


Para achar o vértice do x basta usar a fórmula, e para achar o vértice do y, basta usar o valor do Xv e substituir na equação. Caso você queira achar o Yv por fórmula, basta fazer -delta/4a.

$C)\\ Xv=\frac { -b }{ 2a } \\ Xv=\frac { 4 }{ 2 } \rightarrow 2\\ \\ Yv=x^{ 2 }-4x+3\\ Yv=2^{ 2 }-4(2)+3\\ Yv=4-8+3\\ Yv=-1\\ \\ Xv=2\\ Yv=-1$

O valor mínimo é o Yv.

$E)\\ Yv=-1$

$F)\\ Im\{ f(x)\epsilon R/y\ge -1\}$


$G)\\ a>0\\ f(x)>0,\quad x<1\quad ou\quad x>3\\ f(x)=0,\quad x=1\quad ou\quad x=3\\ f(x)<0,\quad 1<x<3$


$H)\\ f(x)=x^{ 2 }-4x+3\\ f(-3)=(-3)^{ 2 }-4(-3)+3\\ f(-3)=9+12+3\\ f(-3)=24$







Agora respondendo a questão 2.
É só seguir o mesmo esquema:

Primeiro vamos encontrar a equação:

$2)\\ x^{ 2 }-6x+\Sigma \\ \\ P(1,3)\\ 1^{ 2 }-6(1)+\Sigma =3\\ \Sigma =3+6-1\\ \Sigma =8\\ \\ x^{ 2 }-6x+8$


Resolvendo as alternativas:

$A)\\ a=1\quad b=-6\quad c=-8\\ \\ B)\\ x^{ 2 }-6x-8\\ S=2+4\rightarrow 6\\ P=2*4\rightarrow 8\\ \\ x^{ I }=2\quad x^{ II }=4$

$C)\\ Xv=\frac { -b }{ 2a } \\ Xv=\frac { 6 }{ 2 } \rightarrow 3\\ \\ Yv=x^{ 2 }-6x+8\\ Yv=3^{ 2 }-6(3)+8\\ Yv=9-18+8\\ Yv=-1$

$E)\\ Yv=-1$

$F) \\ Im\{ f(x)\epsilon R/y\ge -1\}$

$G)\\ f(x)>0,\quad x<2\quad ou\quad x>4\\ f(x)=0,\quad x=2\quad ou\quad x=4\\ f(x)<0,\quad 2<x<4$

$H)\\ f(-1)+f(3)-2(f1)\\ \\ f(x)=x^{ 2 }-6x+8\\ f(-1)=(-1)^{ 2 }-6(-1)+8\\ f(-1)=1+6+8\\ f(-1)=15\\ \\ f(3)=3^{ 2 }-6(3)+8\\ f(3)=9-18+8\\ f(3)=-1\\ \\ f(1)=1^{ 2 }-6(1)+8\\ f(1)=1-6+8\\ f(1)=3\\ \\ f(-1)+f(3)-2f(1)\\ 15-1-2(3)\\ 14-6\\ 8$