Question

52 PONTOS. Preciso da responda com todo o cálculo o mais rápido possível.

1° Resolva em R as equações modulares:
A) |2x - 3| = 1

B) |4x - 1| - |2x + 3| = 0


2° Determine o conjunto solução, em R, da inequação (x² - 5x) (x² - 8x + 12) < 0.

Answer 1

Questão 2.


Resolver em $\mathbb{R}$ a inequação-produto:

$(x^{2}-5x)(x^{2}-8x+12)<0\\ \\ \\ f(x)\cdot g(x)<0~~~~~~\mathbf{(i)}$


sendo

$f(x)=x^{2}-5x~~~\text{ e }~~~g(x)=x^{2}-8x+12.$

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Vamos estudar o sinal de cada função separadamente:

$\bullet\;\;$ Estudando o sinal de $f(x):$

$f(x)=x^{2}-5x\\ \\ =x(x-5)$


As raízes de $f(x)$ são

$x(x-5)=0\\ \\ x_{1}=0~~\text{ e }~~x_{2}=5.$


Sendo assim, o sinal de $f$ é

$f(x)~~~~\underline{++++~}\underset{0}{\circ}\underline{~------~}\underset{5}{\circ}\underline{~++++~}$


$\bullet\;\;$ Estudando o sinal de $g(x):$

$g(x)=x^{2}-8x+12\\ \\ =x^{2}-2x-6x+12\\ \\ =x(x-2)-6(x-2)\\ \\ =(x-2)(x-6)$


As raízes de $g(x)$ são

$(x-2)(x-6)=0\\ \\ x_{3}=2~~\text{ e }~~x_{4}=6.$


Então, o sinal de $g$ é

$g(x)~~~~\underline{++++~}\underset{2}{\circ}\underline{~------~}\underset{6}{\circ}\underline{~++++~}$

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Resumindo:

$\begin{array}{cl} f(x)&\underline{~+++~}\underset{0}{\circ}\underline{~---~}\underset{2}{\circ}\underline{~----~}\underset{5}{\circ}\underline{~++~}\underset{6}{\circ}\underline{~+++~}\\ \\ g(x)&\underline{~+++~}\underset{0}{\circ}\underline{~+++~}\underset{2}{\circ}\underline{~----~}\underset{5}{\circ}\underline{~--~}\underset{6}{\circ}\underline{~+++~}\\ \\ \\ f(x)\cdot g(x)&\underline{~+++~}\underset{0}{\circ}\underline{~---~}\underset{2}{\circ}\underline{~++++~}\underset{5}{\circ}\underline{~--~}\underset{6}{\circ}\underline{~+++~}\\ \\ \end{array}$


Analisando o sinal de $f(x)\cdot g(x),$ vemos que

$f(x)\cdot g(x)<0$

quando $0<x<2~~\text{ ou }~~5<x<6.$


$\bullet\;\;$ Portanto, o conjunto solução para a inequação dada é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\;0<x<2~~\text{ ou }~~5<x<6\right. \right \}$


ou usando a notação de intervalos,

$S=(0,\;2)\cup (5,\;6).$