51) Dada a função f(x)=(k-2)x2-3kx+1 calcule k, para que a soma das raizes seja igual ao seu produto.
c) Determine os possíveis valores reais para que o gráfico da função f : R tendendo a R dada por f (x) = ax^2 + bx + 1 encontre o eixo 0x em um único ponto P (3,0).
Soluções para a tarefa
Resposta:
k=1/3
a=1/9
b= -2/3
Explicação passo-a-passo:
1) Para resolver devemos saber que para uma função do segundo grau qualquer h(x)= ax² + bx + c, a soma de suas raízes será dada por -b/a e o produto destas é dado por c/a.
X'+X"= -b/a
X'.X"= c/a
- Se X'+X"=X'.X" então:
-b/a=c/a
c= -b
- Substituindo obteremos:
1= -(-3k)
3k=1
k=1/3
2) Já que a função só tem uma interseção com o eixo das abcissas seu Δ deve ser igual a 0.
Δ=b²-4.a.c
0=b²-4.a
(I) 4a=b²
- Atribuindo os valores do ponto p na função iremos obter uma segunda equação e assim faremos um sistema.
F(x)= ax² + bx + 1
0=a.3² + 3.b +1
(II) 9.a + 3b +1 = 0
∴
(I) 4a=b²
(II) 9.a + 3b +1 = 0
- Multiplicando a (I) por -9/4 teremos (I) -9a= (-9.b²)/4. Com isso basta somar as equações.
3b + 1 = (-9b²)/4
(9b²)/4 +3b + 1 = 0
- Multiplicando por 4:
9b² + 12b + 4 = 0
Δ= 12² -4.4.9
Δ= 144 - 144
Δ=0
b= (-12±√0)/2.9
b= -12/18
b= -2/3
- Achando a:
(I) 4.a=b²
4.a= (-2/3)²
4a=4/9
a=1/9
Espero ter lhe ajudado.