Question

[50 pts]

6) Calcular a integral indefinida :

Se puder explicar passo a passo ficaria agradecido.

$\int\limits^ {}cos^6~4x.sen4x\, dx$

Answer 1

$\int\limits { cos^{6}4xsin4x } \, dx$

Pelo Método da substituição, trocamos algumas variaveis por 'u' e 'du', para escolher qual delas escolher, é preciso ter um pouco de visão matemática. Lembrando que ao escolher o u, o du será a sua derivada

u=cos 4x

du=-4sen4x dx
du/-4=sen4x dx

Agora você troca tudo por u e du de acordo com que você achou mais apropriado na sua análise, resolvo a integral e depois volto a substituir o u por seu valor, no caso, cos4x

$\int\limits { u^{6} } \, \frac{-du}{4}$

$- \frac{1}{4} \int\limits { u^{6} } \, du$

$- \frac{1}{4} * \frac{ u^{7} }{7}$

$- \frac{1}{4}* \frac{( cos^{7}4x) }{7} = \frac{- cos^{7}4x }{28}$+ C

Answer 2

$\sf \displaystyle \int \:cos^6\:4x\cdot \:sen\:4x\:\:dx\\\\\\=\int \cos ^6\left(u\right)\sin \left(u\right)\frac{1}{4}du\\\\\\=\frac{1}{4}\cdot \int \cos ^6\left(u\right)\sin \left(u\right)du\\\\\\=\frac{1}{4}\cdot \int \:-v^6dv\\\\\\=\frac{1}{4}\left(-\int \:v^6dv\right)\\\\\\=\frac{1}{4}\left(-\frac{v^{6+1}}{6+1}\right)\\\\\\=\frac{1}{4}\left(-\frac{\cos ^{6+1}\left(4x\right)}{6+1}\right)\\\\\\=-\frac{1}{28}\cos ^7\left(4x\right)$

$\to \boxed{\sf =-\frac{1}{28}\cos ^7\left(4x\right)+C}$