Question

[50 pts]

3) Calcular a integral indefinida :

Se puder explicar passo a passo ficaria agradecido.

$\int\limits^ {}( \frac{tgx}{cosx}-e^2+ \frac{3}{x^7}) \, dx$

Answer 1

Olá, Lucas!

Temos a integral:

$\int\limits {( \frac{tgx}{cosx}-e^2+ \frac{3}{x^7}) } \, dx$

Faça o seguinte, reescreva tgx = senx/cosx


$\\ \int\limits{ (\frac{ \frac{senx}{cosx} }{cosx} -e^2+ \frac{3}{x^7 }) \, dx$


$\\ \int\limits{ \frac{Senx}{cos^2x} -e^2+ \frac{3}{x^7 }) \, dx$

Vamos separar em 3 integrais:

$\\ = \int\limits { \frac{Senx}{Cos^2x} } \, dx - \int\limits e^2{} \, dx + \int\limits{ \frac{3}{x^7} } \, dx$

Vamos resolver a primeira:

Façamos "u = cosx

$u = Cosx$

Derivando em ambos os lados teremos que:

$\\ du = -senxdx \\ \\ -du = Senxdx$

Agora substitua na integral:

$\\ \int\limits { \frac{Senx}{Cos^2x} } \, dx = \int\limits { \frac{-du}{u^2} } \, \\ \\ = \int\limits -u^-^2du } \,$

Usando a integração de potência:

 \int\limits x^n {} \, dx =  \frac{x^n^+^1}{n+1} , n \neq -1

$\\ \int\limits-u^-^2du\, = - \frac{u^-^2^+^1}{-2+1} \\ \\ = - \frac{u^-^1}{-1} \\ \\ = u^-^1 \\ \\ = \frac{1}{u}$

Substitua agora "u = Cosx" Como havíamos substituido!

$\int\limits{ \frac{tgx}{cosx} } \, dx = \frac{1}{Cosx}$

E lembrando que, 1/cosx = Secx

$\int\limits{ \frac{tgx}{cosx} } \, dx = Secx$
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Resolvendo a segunda integral:

$\int\limits-e^2{} \, dx =$

Como , " e² é uma constante, então só aplicar a regra da integral de uma constante:

$\int\limits {k} \, dx = kx$

Logo,

$\int\limit -e^2{} \, dx = -e^2x$
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Agora resolvendo a ultima integral:


$\int\limits { \frac{3}{x^7} } \, dx = \int\limits {3x^-^7} \, dx$

Utilizaremos a regra da integral por potência:

$\\ \int\limits x^n {} \, dx = \frac{x^n^+^1}{n+1} , n \neq -1$

$\\ \int\limits 3x^-^7 {} \, dx = \frac{3x^-^7^+^1}{-7+1} \\ \\ = \frac{3x^-^6}{-6} \\ \\ = - \frac{x^-^6}{2} \\ \\ = - \frac{1}{2x^6}$
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Logo, a integral completa será a soma das 3 integrais obtidas. Assim:

$= Secx -e^2x- \frac{1}{2x^6}$


Mas deixando claro que não podemos esquecer a constante "k"

$= Secx -e^2x- \frac{1}{2x^6} +K$