Question

[50 pts]

1) Calcular a integral indefinida :

Se puder explicar passo a passo ficaria agradecido.

$\int\limits^ {}e^2^x senx\, dx$

Answer 1

$I=\displaystyle\int\!e^{2x}\mathrm{sen\,}x\,dx$


Aplicando o método de integração por partes:

$\bullet\;\;u$ geralmente é uma função que se torna mais fácil ao ser derivada (ou ao menos não mais complicado);

$\bullet\;\;dv$ é geralmente um diferencial que se torna mais simples ao ser integrado (ou ao menos não mais complicado)

( obs.: essa regra para a escolha de $u$ e $dv$ não funciona em todos os casos, ok? )


Façamos a seguinte escolha:

$\begin{array}{lcl} u=e^{2x}&~\Rightarrow~&du=2e^{2x}\,dx\\\\ dv=\mathrm{sen\,}x\,dx&~\Leftarrow~&v=-\cos x\\\\ \end{array}\\\\\\ \displaystyle\int\!u\,dv=uv-\int\!v\,du\\\\\\ \int\!e^{2x}\mathrm{sen\,}x\,dx=-\,e^{2x}\cos x-\int\!(-\cos x)\cdot 2e^{2x}\,dx\\\\\\ I=-\,e^{2x}\cos x+2\underbrace{\int\!e^{2x}\cos x\,dx}_{I_1}~~~~~~\mathbf{(i)}$

________________

Para resolver $I_1,$ usaremos a integração por partes novamente:

$I_1=\displaystyle\int\!e^{2x}\cos x\,dx\\\\\\ \begin{array}{lcl} u=e^{2x}&~\Rightarrow~&du=2e^{2x}\,dx\\\\ dv=\cos x\,dx&~\Leftarrow~&v=\mathrm{sen\,} x\\\\ \end{array}\\\\\\ \int\!u\,dv=uv-\int\!v\,du\\\\\\ \int\!e^{2x}\cos x\,dx=e^{2x}\,\mathrm{sen\,}x-\int\!\mathrm{sen\,}x\cdot 2e^{2x}\,dx\\\\\\ I_1=e^{2x}\,\mathrm{sen\,}x-2\int\!e^{2x}\,\mathrm{sen\,}x\,dx\\\\\\ I_1=e^{2x}\,\mathrm{sen\,}x-2I~~~~~~\mathbf{(ii)}$

________________

Substituindo $\mathbf{(ii)}$ em $\mathbf{(i)},$ obtemos

$I=-\,e^{2x}\cos x+2\cdot (e^{2x}\,\mathrm{sen\,}x-2I)\\\\ I=-\,e^{2x}\cos x+2e^{2x}\,\mathrm{sen\,}x-4I\\\\ I+4I=-\,e^{2x}\cos x+2e^{2x}\,\mathrm{sen\,}x\\\\ 5I=-\,e^{2x}\cos x+2e^{2x}\,\mathrm{sen\,}x\\\\\\ I=-\,\dfrac{1}{5}\,e^{2x}\cos x+\dfrac{2}{5}\,e^{2x}\,\mathrm{sen\,}x+C\\\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\displaystyle\int\!e^{2x}\mathrm{sen\,}x\,dx=-\,\dfrac{1}{5}\,e^{2x}\cos x+\dfrac{2}{5}\,e^{2x}\,\mathrm{sen\,}x+C \end{array}}$


Bons estudos! :-)

Answer 2

$\sf \displaystyle \int \:e^{2x}\:sen\:x\:dx\\\\\\=-e^{2x}\cos \left(x\right)-\int \:-2e^{2x}\cos \left(x\right)dx\\\\\\=-e^{2x}\cos \left(x\right)-\left(-2\cdot \int \:e^{2x}\cos \left(x\right)dx\right)\\\\\\=-e^{2x}\cos \left(x\right)-\left(-2\left(e^{2x}\sin \left(x\right)-\int \:e^{2x}\cdot \:2\sin \left(x\right)dx\right)\right)\\\\\\=-e^{2x}\cos \left(x\right)-\left(-2\left(e^{2x}\sin \left(x\right)-2\cdot \int \:e^{2x}\sin \left(x\right)dx\right)\right)$

$\sf \displaystyle \int \:e^{2x}\sin \left(x\right)dx=-e^{2x}\cos \left(x\right)-\left(-2\left(e^{2x}\sin \left(x\right)-2\cdot \int \:e^{2x}\sin \left(x\right)dx\right)\right)\\\\\\=-\frac{e^{2x}\cos \left(x\right)}{5}+\frac{2e^{2x}\sin \left(x\right)}{5}\\\\\\\to \boxed{\sf =-\frac{e^{2x}\cos \left(x\right)}{5}+\frac{2e^{2x}\sin \left(x\right)}{5}+C}$