Question

(50 PONTOS) Valor médio de função de duas variáveis.
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Considere a seguinte função:

$f(x,\,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$

definida sobre o domínio $D,$ sendo $D$ o disco unitário com centro na origem e raio 1:

$D=\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~x^2+y^2\le 1\}$

Calcule o valor médio que $f$ assume em $D.$

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Resposta: $\dfrac{2}{3}$
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Answer 1

O valor médio de uma função de duas variáveis limitada por região D é dado por:
Fmed = 1/A(D) . ∫∫f(x,y) DA
Onde A(D) e a área da região D. A integral dupla alí é aplicada na região D também.
Temos:
$D=\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2:~x^2+y^2\le 1\}$
É evidente que A(D) = π
Para facilitar, vamos converter tudo em coordenadas polares. Temos:
$f(x,y) =f(r, \theta\ )= \sqrt{1- \ \[r ^{2} }$
$D = \{(r, \theta ) | 0\leq r \leq 1 ; 0\leq \theta \leq 2\pi\}$
Não consegui fazer resolução aqui, então ela está na foto abaixo. Simplifiquei ao máximo a resolução das integrais.