Question

(50 PONTOS !!!!) Um cone é formado a partir de um setor circular, cujo ângulo central é $\alpha$ e o raio é $g$ (que passará a ser a geratriz do cone formado). Segue ilustração em anexo. Mostrar que o volume do cone formado é dado por

$V=\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{\alpha^{2}\sqrt{4\pi^{2}-\alpha^{2}}}{4\pi^{2}}\cdot g^{3}$

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Dica: O volume do cone de raio da base $r$ e altura $h$ é dado por

$V=\dfrac{\text{\'{a}rea da base}\cdot \text{altura}}{3}=\dfrac{\pi r^{2}\cdot h}{3}$

Answer 1

No desenho plano, temos um setor circular cujo raio é g e o ângulo é α.
Se α fosse 2π, o perímetro do arco seria uma circunferência completa 2πr.
Entretanto, no nosso caso será αg.

No cone (figura em 3D), teremos uma base circular cujo raio eu não sei, porém sei que o perímetro desta área é αg.
Logo o raio da base será:
2πr = αg
r = αg/2π
A área de base será então:
A = πr² = π(αg/2π)² = α²g²/4π

A altura do cone é um cateto do triângulo retângulo formado por g (hipotenusa) e r (outro cateto);
g² = h² + r²
h² = g² - (αg/2π)²
h² = g² - α²g²/4π²
h² = g².(1 - α²/4π²)
h² = g².(4π² - α²)/4π²
h = (g/2π).√(4π² - α²)

Finalmente o volume é dado por:


V = [(α²g²/4π).(g/2π).√(4π² - α²)]/3
V =  [(α²g³/8π²).√(4π² - α²)]/3
V =  (α²g³/3.2.4π²).√(4π² - α²)
V = (1/6).g³.[α².√(4π² - α²)]/4π²