Question

(50 PONTOS) Seja $a_{n}$ uma sequência numérica de termos não-nulos.

Considere também que sobre a sequência $a_{n}$ está definido o operador de diferença anterior $\Delta:$

$\Delta(a_{n})=a_{n+1}-a_{n}\;\;\;\;\;(n\in \mathbb{N})$

que nos fornece a diferença entre dois termos consecutivos.


$\bullet\;\;$ Propriedade operatória que pode ser útil:

A primeira diferença do produto entre duas sequências é dada por

$\Delta(p_{n}\cdot q_{n})=\Delta(p_{n})\cdot q_{n+1}+p_{n}\cdot \Delta(q_{n})$
------------------------------------------------------------------------

$\bullet\;\;$ Lembremos que o módulo de um número real $x$ pode ser expresso como

$|x|=\sqrt{x^{2}}$
------------------------------------------------------------------------

Nestas condições, mostre que

$\Delta|a_{n}|=\dfrac{2a_{n}\cdot \Delta(a_{n})+\left[\Delta(a_{n}) \right ]^{2}}{|a_{n}+\Delta(a_{n})|+|a_{n}|}$

Answer 1

Hola

        $\Delta (|a_n|)=|a_{n+1}|-|a_n|\\ \\ \text{Como en la sucesi\'on todos los t\'erminos no son nulos, entonces}\\ \\ \Delta (|a_n|)=\dfrac{(|a_{n+1}|-|a_n|)(|a_{n+1}|+|a_n|)}{|a_{n+1}|+|a_n|}\\ \\ \\ \Delta (|a_n|)=\dfrac{|a_{n+1}|^2-|a_n|^2}{|a_{n+1}|+|a_n|}\\ \\ \\ \Delta (|a_n|)=\dfrac{a_{n+1}^2-a_n^2}{|a_{n+1}|+|a_n|}\\ \\ \\ \Delta (|a_n|)=\dfrac{(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n)}{|a_{n+1}|+|a_n|}$

        $\Delta (|a_n|)=\dfrac{\Delta (a_n)(a_{n+1}+a_n)}{|a_{n+1}|+|a_n|}\\ \\ \\ \Delta (|a_n|)=\dfrac{\Delta (a_n)(a_{n+1}-a_n+2a_n)}{|a_{n+1}-a_n+a_n|+|a_n|}\\ \\ \\ \Delta (|a_n|)=\dfrac{\Delta (a_n)(\Delta (a_n)+2a_n)}{|\Delta (a_n)+a_n|+|a_n|}\\ \\ \\ \boxed{\Delta (|a_n|)=\dfrac{\Delta^2 (a_n)+2a_n\Delta (a_n)}{|\Delta (a_n)+a_n|+|a_n|}}$